Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 33, maj 2016, poziom podstawowy
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Wysokość \(SO\) tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa \(27\). Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(ABCS\) oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.
Odpowiedź
\[P_b=9\sqrt{30},\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(a\) będzie krawędzią podstawy. Wysokość ostrosłupa wynosi \(H=\frac{a\sqrt3}{2}\). Z warunku objętości
\[27=\frac13\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a^3}{8},\]
więc \(a=6\) i \(H=3\sqrt3\). Jeżeli \(P\) jest środkiem boku podstawy, to \(OP=\sqrt3\), a wysokość ściany bocznej
\[h=\sqrt{H^2+OP^2}=\sqrt{27+3}=\sqrt{30}.\]
Stąd
\[P_b=3\cdot\frac12\cdot6\cdot\sqrt{30}=9\sqrt{30},\qquad \cos\alpha=\frac{OP}{h}=\frac{\sqrt3}{\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{10}}{10}.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawne pole \(9\sqrt{30}\) i cosinus \(\frac{\sqrt{10}}{10}\)
**4 pkt** – poprawne wyznaczenie jednej z dwóch wielkości po obliczeniu wymiarów bryły
**3 pkt** – obliczenie wysokości ściany bocznej \(\sqrt{30}\) lub istotny równoważny postęp
**2 pkt** – obliczenie \(a=6\) albo \(H=3\sqrt3\)
**1 pkt** – poprawne równanie wynikające z objętości
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
9.6 trygonometria w stereometrii
G10.7 twierdzenie Pitagorasa.
