Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 34, maj 2016, poziom podstawowy
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb będzie równa \(30\).
Odpowiedź
Wszystkich uporządkowanych wyników jest \(90\cdot 89\), ponieważ losujemy bez zwracania dwie różne liczby dwucyfrowe. Warunek x + y = \(30\) spełniają pary z x = \(10\), \(11\), ..., \(20\), z wyjątkiem x = \(15\), bo liczby muszą być różne. Jest \(10\) par sprzyjających. Zatem P = \(10\)/(\(90\cdot 89\)) = \(\frac{1}{801}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Losujemy kolejno bez zwracania, więc zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary różnych liczb dwucyfrowych. Liczb dwucyfrowych jest \(90\), zatem
\[|\Omega|=90\cdot89=8010.\]
Szukamy par \((x,y)\) o sumie \(30\), w których obie liczby są dwucyfrowe i różne. Z \(y=30-x\) oraz warunku \(10\leq y\leq99\) otrzymujemy \(10\leq30-x\), czyli \(x\leq20\); razem z \(x\geq10\) daje to \(x\in\{10,11,\ldots,20\}\), czyli \(11\) wartości.
Wartość \(x=15\) odpada, bo wtedy \(y=15\), a losujemy bez zwracania. Zostaje
\[|A|=11-1=10\]
par uporządkowanych.
Stąd
\[P(A)=\frac{10}{8010}=\frac1{801}.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac1{801}\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Zdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para \((x,y)\) dwóch różnych liczb ze zbioru \(\{10,11,\ldots,99\}\), który zawiera \(90\) liczb. Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, więc mamy do czynienia z modelem klasycznym i \(\lvert\Omega\rvert=90\cdot89\).
Zdarzeniu \(A\) sprzyjają zdarzenia elementarne \((10,20)\), \((11,19)\), \((12,18)\), \((13,17)\), \((14,16)\), \((16,14)\), \((17,13)\), \((18,12)\), \((19,11)\), \((20,10)\), czyli \(\lvert A\rvert=10\); pary \((15,15)\) nie ma, bo losujemy bez zwracania.
Zatem \(P(A)=\frac{10}{90\cdot89}=\frac{1}{801}\).
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. 10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa (10.3).
