Zadanie 10 – matura z matematyki maj 2014, poziom rozszerzony

\[m\in\{-3,0\}.\]

Pierwszy czynnik rozkłada się następująco: \[x^3+2x^2+2x+1=(x+1)(x^2+x+1).\] Ponieważ \(\Delta_{x^2+x+1}=-3<0\), jedynym jego pierwiastkiem rzeczywistym jest \(-1\). Drugi czynnik ma postać \[x^2-(2m+1)x+m(m+1)=(x-m)(x-m-1),\] więc pozostałe pierwiastki to \(m\) oraz \(m+1\). Rozpatrujemy trzy możliwości średniej arytmetycznej: \[-1=\frac{m+(m+1)}2,\qquad m=\frac{-1+(m+1)}2,\qquad m+1=\frac{-1+m}2.\] Dają one odpowiednio \[m=-\frac32,\qquad m=0,\qquad m=-3.\] Parametr ma być całkowity, więc pozostają \(m=0\) i \(m=-3\). W obu przypadkach pierwiastki są parami różne.

**5 pkt** – wyznaczenie obu wartości \(m=-3\), \(m=0\) i sprawdzenie różności pierwiastków **4 pkt** – poprawne rozwiązanie trzech równań wynikających z warunku średniej, lecz brak końcowej selekcji **3 pkt** – poprawne ustalenie pierwiastków \(-1\), \(m\), \(m+1\) **2 pkt** – poprawny rozkład obu czynników na czynniki rzeczywiste **1 pkt** – wskazanie, że \(-1\) jest pierwiastkiem pierwszego czynnika **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** Zdający stosuje twierdzenia o pierwiastkach wielomianu, rozkłada wielomian na czynniki i wykorzystuje definicję średniej arytmetycznej.