Ostrosłupy
Zadanie 32, maj 2010, poziom podstawowy
Podstawą ostrosłupa \(ABCD\) jest trójkąt \(ABC\). Krawędź \(AD\) jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCD\), jeśli wiadomo, że \(|AD|=12\), \(|BC|=6\), \(|BD|=|CD|=13\).
Odpowiedź
\[V=48.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Krawędź \(AD\) jest wysokością ostrosłupa, więc jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, a zatem trójkąty \(ABD\) i \(ACD\) są prostokątne przy wierzchołku \(A\). Z twierdzenia Pitagorasa
\[|AB|=|AC|=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{169-144}=5.\]
Podstawa \(ABC\) jest więc trójkątem równoramiennym o bokach \(5\), \(5\), \(6\). Wysokość opuszczona na bok \(BC\) dzieli go na połowy, więc
\[h_{ABC}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4,\qquad P_{ABC}=\frac{6\cdot4}2=12.\]
Objętość ostrosłupa:
\[V=\frac13\cdot P_{ABC}\cdot|AD|=\frac13\cdot12\cdot12=48.\]
**Odpowiedź.** \(V=48\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – obliczenie \(|AB|=5\) albo \(|AC|=5\)
**2 pkt** – obliczenie wysokości podstawy \(h_{ABC}=4\)
**3 pkt** – obliczenie pola podstawy \(P_{ABC}=12\)
**4 pkt** – obliczenie objętości \(V=48\)
Wymagania podstawy programowej
Użycie i tworzenie strategii. Obliczanie objętości wielościanu.
