Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 33, maj 2010, poziom podstawowy
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez \(12\). Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Odpowiedź
Wszystkich uporządkowanych wyników dwóch rzutów jest \(6^{2}\) = \(36\). Zdarzeniu sprzyjają pary (\(2\), \(6\)), (\(4\), \(3\)), (\(4\), \(6\)), (\(6\), \(2\)), (\(6\), \(4\)), (\(6\), \(6\)), czyli \(6\) wyników. Zatem P(A) = \(\frac{6}{36 = 1}\)/\(6\).
Rozwiązanie krok po kroku
Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary wyników obu rzutów. Kostka jest symetryczna, więc wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne i możemy zastosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa \(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\).
\[|\Omega|=6^2=36.\]
Zdarzenie \(A\) wymaga jednocześnie dwóch warunków: pierwszy wynik jest parzysty oraz iloczyn dzieli się przez \(12\). Rozpatrujemy kolejno parzyste wyniki pierwszego rzutu.
Dla pierwszego rzutu \(2\) iloczyn \(2b\) dzieli się przez \(12\), gdy \(b\) dzieli się przez \(6\), czyli \(b=6\) — para \((2,6)\).
Dla pierwszego rzutu \(4\) iloczyn \(4b\) dzieli się przez \(12\), gdy \(b\) dzieli się przez \(3\), czyli \(b\in\{3,6\}\) — pary \((4,3)\) i \((4,6)\).
Dla pierwszego rzutu \(6\) iloczyn \(6b\) dzieli się przez \(12\), gdy \(b\) jest parzyste, czyli \(b\in\{2,4,6\}\) — pary \((6,2)\), \((6,4)\), \((6,6)\).
Łącznie \(|A|=1+2+3=6\), zatem
\[P(A)=\frac6{36}=\frac16.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac16\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: zapisanie |Ω| = 36.
2 pkt: zapisanie |Ω| = 36 oraz poprawne wypisanie sześciu zdarzeń elementarnych sprzyjających A.
3 pkt: obliczenie |A| = 6 przy poprawnie określonej przestrzeni.
4 pkt: obliczenie P(A) = 1/6. Uwaga CKE: sam skrót |Ω| = 36, |A| = 6, P(A) = 1/6 bez uzasadnienia daje 1 pkt.
Wymagania podstawy programowej
Modelowanie matematyczne. Obliczanie prawdopodobieństwa z zastosowaniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa.
