Graniastosłupy
Zadanie 13.1, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości \(H\) ostrosłupa oraz promienia \(R\) okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa \(6\).
**Zadanie \(13\).\(1\).**
Wykaż, że objętość \(V\) każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości \(R\) promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem
\[V(R)=\frac{\sqrt3}{4}\left(6R^2-R^3\right).\]
Odpowiedź
\[V(R)=\frac{\sqrt3}{4}\left(6R^2-R^3\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(a\) oznacza długość krawędzi podstawy ostrosłupa. Podstawa jest trójkątem równobocznym, zatem promień okręgu opisanego na podstawie spełnia
\[R=\frac{a\sqrt3}{3},\qquad a=R\sqrt3.\]
Pole \(P_p\) podstawy jest więc równe
\[P_p=\frac{(R\sqrt3)^2\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3R^2}{4}.\]
Ponieważ \(H+R=6\), mamy \(H=6-R\). Stąd
\[V=\frac13P_pH=\frac13\cdot\frac{3\sqrt3R^2}{4}(6-R)=\frac{\sqrt3}{4}(6R^2-R^3).\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania
**1 pkt** – wyznaczenie pola \(P_p\) podstawy ostrosłupa w zależności od promienia \(R\) okręgu opisanego na podstawie:
\[P_p=\frac{(R\sqrt3)^2\sqrt3}{4}.\]
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja; 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
X.4) Zdający oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów i ostrosłupów, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.
