Zadanie 12 – matura z matematyki czerwiec 2024, poziom rozszerzony

\(m=1\) lub \(m=\frac{-3-2\sqrt{42}}{3}\). Warunek \(\Delta\gt 0\) daje \(m\in(-\infty,-1)\cup\left(-1,\frac{13}{4}\right)\), a warunek \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}+7\) po zastosowaniu wzorów Viète’a prowadzi do równania \((m-1)\left(3m^{2}+6m-53\right)=0\). Trzeci pierwiastek \(\frac{-3+2\sqrt{42}}{3}\approx 3{,}32\) odrzucamy, bo nie spełnia warunku \(\Delta\gt 0\).

**Krok \(1\).** Metoda: zadanie rozbijamy na dwa warunki. Pierwszy — równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, czyli \(3-m\neq 0\) i \(\Delta\gt 0\). Drugi — warunek \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}+7\) przepisujemy przy użyciu wzorów Viète’a. Na końcu bierzemy część wspólną. **Krok \(2\).** Obliczamy wyróżnik trójmianu \((3-m)x^{2}+(m+1)x-(m+1)^{2}\): \[\Delta=(m+1)^{2}+4(3-m)(m+1)^{2}=(m+1)^{2}\left[1+4(3-m)\right]=(m+1)^{2}(13-4m).\] **Krok \(3\).** Rozwiązujemy warunek \(\Delta\gt 0\). Czynnik \((m+1)^{2}\) jest dodatni dla \(m\neq -1\), więc \[(m+1)^{2}(13-4m)\gt 0\iff m\neq -1\ \text{i}\ m\lt\frac{13}{4},\] czyli \[m\in(-\infty,-1)\cup\left(-1,\ \frac{13}{4}\right).\] Doliczamy jeszcze warunek \(3-m\neq 0\) (inaczej równanie nie jest kwadratowe), czyli \(m\neq 3\). **Krok \(4\).** Zapisujemy wzory Viète’a: \[x_{1}+x_{2}=-\frac{m+1}{3-m}=\frac{m+1}{m-3},\qquad x_{1}x_{2}=\frac{-(m+1)^{2}}{3-m}=\frac{(m+1)^{2}}{m-3}.\] **Krok \(5\).** Przekształcamy warunek zadania tak, by dało się użyć wzorów Viète’a: \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}+7,\qquad (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=x_{1}x_{2}+7,\qquad (x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=7.\] **Krok \(6\).** Podstawiamy: \[\frac{(m+1)^{2}}{(m-3)^{2}}-3\cdot\frac{(m+1)^{2}}{m-3}=7.\] Mnożymy obie strony przez \((m-3)^{2}\neq 0\): \[(m+1)^{2}-3(m+1)^{2}(m-3)-7(m-3)^{2}=0.\] **Krok \(7\).** Rozwijamy i porządkujemy: \[\left(m^{2}+2m+1\right)-3\left(m^{3}-m^{2}-5m-3\right)-7\left(m^{2}-6m+9\right)=0,\] \[-3m^{3}-3m^{2}+59m-53=0,\qquad\text{czyli}\qquad 3m^{3}+3m^{2}-59m+53=0.\] **Krok \(8\).** Zauważamy, że \(m=1\) jest pierwiastkiem (\(3+3-59+53=0\)), więc dzielimy wielomian przez \(m-1\): \[3m^{3}+3m^{2}-59m+53=(m-1)\left(3m^{2}+6m-53\right).\] **Krok \(9\).** Rozwiązujemy \(3m^{2}+6m-53=0\): \[\Delta=36+4\cdot 3\cdot 53=672,\qquad \sqrt{672}=4\sqrt{42},\] \[m=\frac{-6\pm 4\sqrt{42}}{6}=\frac{-3\pm 2\sqrt{42}}{3}.\] **Krok \(10\).** Konfrontujemy trzy kandydatury z warunkiem z kroku \(3\). Ponieważ \(\sqrt{42}\approx 6{,}48\), liczbę \(\frac{-3+2\sqrt{42}}{3}\approx 3{,}32\) odrzucamy, bo \(3{,}32\gt\frac{13}{4}=3{,}25\). Liczbę \(\frac{-3-2\sqrt{42}}{3}\approx -5{,}32\) przyjmujemy, bo należy do przedziału \((-\infty,-1)\). Liczbę \(m=1\) także przyjmujemy, bo należy do przedziału \(\left(-1,\frac{13}{4}\right)\). **Uwaga.** To najgroźniejsza pułapka tego zadania: pierwiastek \(\frac{-3+2\sqrt{42}}{3}\approx 3{,}32\) tylko nieznacznie przekracza granicę \(\frac{13}{4}=3{,}25\). Bez porównania z warunkiem \(\Delta\gt 0\) łatwo podać trzy wartości zamiast dwóch. **Odpowiedź.** \(m=1\) lub \(m=\frac{-3-2\sqrt{42}}{3}\).

Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap polega na zapisaniu warunku \(\Delta>0\) w postaci nierówności z niewiadomą \(m\) i rozwiązaniu tej nierówności. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. **1 pkt** – zapisanie warunku \(\Delta>0\) w postaci nierówności z niewiadomą \(m\) i rozwiązanie tej nierówności: \((m+1)^{2}+4\cdot(3-m)\cdot(m+1)^{2}>0\) oraz \(m\in(-\infty,\,-1)\cup\left(-1,\,\frac{13}{4}\right)\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwaga:** Jeżeli zdający rozwiązuje warunek \(\Delta\ge 0\), to za tę część rozwiązania otrzymuje \(0\) punktów. Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru \(m\), dla których jest spełniony warunek \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}\cdot x_{2}+7\). Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 4 punkty. Podział punktów za drugi etap rozwiązania: **4 pkt** – wyznaczenie wszystkich wartości parametru \(m\), dla których jest spełniony warunek \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}\cdot x_{2}+7\): \(1\), \(\frac{-3-2\sqrt{42}}{3}\), \(\frac{-3+2\sqrt{42}}{3}\). **3 pkt** – zapisanie równania z niewiadomą \(m\) w postaci \(\frac{-3m^{3}-3m^{2}+59m-53}{(3-m)^{2}}=0\) lub \(3m^{3}+3m^{2}-59m+53=0\) oraz wyznaczenie jednego z rozwiązań tego równania (np. \(m=1\)) i podzielenie wielomianu \(3m^{3}+3m^{2}-59m+53\) przez odpowiedni dwumian, np. \((3m^{3}+3m^{2}-59m+53):(m-1)=3m^{2}+6m-53\) ALBO – zapisanie równania z niewiadomą \(m\) w postaci \(\frac{-3m^{3}-3m^{2}+59m-53}{(3-m)^{2}}=0\) lub \(3m^{3}+3m^{2}-59m+53=0\) oraz zastosowanie metody grupowania i zapisanie wielomianu \(3m^{3}+3m^{2}-59m+53\) w postaci iloczynu co najmniej dwóch wielomianów stopni dodatnich, np. \((m-1)(3m^{2}+6m-53)\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(m\), wynikającego z warunku \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}\cdot x_{2}+7\), np. \(\left(-\frac{m+1}{3-m}\right)^{2}-2\cdot\frac{-(m+1)^{2}}{3-m}=\frac{-(m+1)^{2}}{3-m}+7\). **1 pkt** – przekształcenie warunku \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}\cdot x_{2}+7\) do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. \((x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=x_{1}x_{2}+7\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Trzeci etap polega na zapisaniu warunku \(3-m\ne 0\) oraz wyznaczeniu wszystkich wartości parametru \(m\), które spełniają jednocześnie warunki: \(3-m\ne 0\) i \(\Delta>0\), i \((x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=x_{1}x_{2}+7\). Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. **1 pkt** – zapisanie warunku \(3-m\ne 0\) i poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru \(m\), które spełniają jednocześnie warunki \(3-m\ne 0\) i \(\Delta>0\), i \((x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=x_{1}x_{2}+7\): \(1\), \(\frac{-3-2\sqrt{42}}{3}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych; tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** III.R3) Zdający stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych; III.R5) Zdający analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów.