Ostrosłupy
Zadanie 13.2, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości \(H\) ostrosłupa oraz promienia \(R\) okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa \(6\).
**Zadanie \(13\).\(2\).**
Objętość \(V\) ostrosłupa w zależności od długości \(R\) promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem
\[V(R)=\frac{\sqrt3}{4}\left(6R^2-R^3\right)\]
dla \(R\in(0,6)\).
**Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[R=4,\qquad V_{\max}=8\sqrt3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Dla \(R\in(0,6)\) obliczamy pochodną funkcji objętości:
\[V'(R)=\frac{\sqrt3}{4}(12R-3R^2)=\frac{3\sqrt3}{4}R(4-R).\]
Jedynym miejscem zerowym pochodnej należącym do dziedziny jest \(R=4\). Ponadto
\[V'(R)>0\quad\text{dla }R\in(0,4),\qquad V'(R)<0\quad\text{dla }R\in(4,6).\]
Funkcja \(V\) jest więc rosnąca w przedziale \((0,4]\) i malejąca w przedziale \([4,6)\), a zatem przyjmuje największą wartość dla \(R=4\). Wtedy
\[V(4)=\frac{\sqrt3}{4}(6\cdot4^2-4^3)=8\sqrt3.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(V\) przyjmuje wartość największą dla \(R=4\), i obliczenie wartości największej \(V=8\sqrt3\)
**3 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(V\) przyjmuje wartość największą dla \(R=4\), albo poprawne przeprowadzenie rozwiązania metodą nierówności między średnimi do warunku równości
**2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(V\), \(R=4\), albo poprawne wyznaczenie warunku równości w metodzie nierówności między średnimi
**1 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(V'(R)=\frac{\sqrt3}{4}(12R-3R^2)\) albo zapisanie odpowiedniej nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.R3) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. XIII.R4) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji. XIII.R5) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
