Zadanie 15 – matura z matematyki czerwiec 2020, poziom rozszerzony

Ekran powinien mieć wymiary \[10\,\mathrm{cm}\times6\,\mathrm{cm}.\]

Wszystkie długości zapisujemy w milimetrach. Niech \(x\) i \(y\) oznaczają wymiary ekranu, przy czym \(xy=6000\). Stąd \[y=\frac{6000}{x}.\] Wymiary ekranu z obramowaniem wynoszą \(x+10\) oraz \(y+6\), więc jego pole jest równe \[P(x)=(x+10)\left(\frac{6000}{x}+6\right)=6x+\frac{60000}{x}+6060.\] Ponieważ ekran ma dodatnie wymiary i krótszy bok nie jest dłuższy od dłuższego, możemy rozpatrywać \(x\in\langle2\sqrt{1500},+\infty)\). Pochodna ma postać \[P'(x)=6-\frac{60000}{x^2}=\frac{6(x^2-10000)}{x^2}.\] Dla \(x>0\) pochodna zeruje się w punkcie \(x=100\). Jest ujemna dla \(0<x<100\) i dodatnia dla \(x>100\), zatem \(P\) osiąga minimum dla \(x=100\). Wtedy \[y=\frac{6000}{100}=60.\] Zatem optymalne wymiary ekranu to \(100\,\mathrm{mm}\times60\,\mathrm{mm}\), czyli \(10\,\mathrm{cm}\times6\,\mathrm{cm}\).

**7 pkt** – wyznaczenie wymiarów \(100\,\mathrm{mm}\times60\,\mathrm{mm}\) i uzasadnienie, że dają najmniejszą powierzchnię **6 pkt** – poprawne zbadanie znaku pochodnej i wskazanie minimum, bez końcowego podania obu wymiarów **5 pkt** – wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej \(x=100\) **4 pkt** – obliczenie pochodnej \(P'(x)=6-\frac{60000}{x^2}\) **3 pkt** – zapisanie funkcji \(P(x)=6x+\frac{60000}{x}+6060\) wraz z właściwą dziedziną **2 pkt** – zapisanie funkcji pola jednej zmiennej po podstawieniu \(y=\frac{6000}{x}\) **1 pkt** – przyjęcie wymiarów \(x,y\) i zapisanie \(xy=6000\) albo \(P=(x+10)(y+6)\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R11.6 stosowanie pochodnych do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.