Trójkąty
Zadanie 11, czerwiec 2019, poziom rozszerzony
Podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku \(6\). Na krawędziach BS i CS wybrano punkty D i E takie, że \(BD=CE\) oraz \(DE=4\). Płaszczyzna ADE jest prostopadła do płaszczyzny ściany BCS. Oblicz objętość ostrosłupa.
Odpowiedź
\[V=18\sqrt2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy: \(G\) — środek krawędzi \(BC\), \(F\) — środek odcinka \(DE\), \(K\) — środek podstawy (spodek wysokości ostrosłupa).
Z warunku \(\lvert BD\rvert=\lvert CE\rvert\) oraz \(\lvert SB\rvert=\lvert SC\rvert\) wynika \(\lvert SD\rvert=\lvert SE\rvert\), więc \(DE\parallel BC\) i z podobieństwa trójkątów \(SDE\) oraz \(SBC\)
\[\frac{\lvert SF\rvert}{\lvert SG\rvert}=\frac{\lvert DE\rvert}{\lvert BC\rvert}=\frac46=\frac23.\]
Odcinki \(AF\) i \(GF\) są prostopadłe do \(DE\) (pierwszy z symetrii trójkąta \(ADE\), drugi bo \(SG\perp BC\parallel DE\)), więc kąt \(AFG\) jest kątem między płaszczyznami \(ADE\) i \(BCS\). Z założenia o prostopadłości płaszczyzn
\[\lvert\angle AFG\rvert=90^\circ,\quad\text{czyli}\quad AF\perp SG.\]
Rachunki prowadzimy w płaszczyźnie symetrii \(AGS\). Wysokość trójkąta równobocznego \(ABC\) o boku \(6\) wynosi \(\lvert AG\rvert=3\sqrt3\), a środek podstawy dzieli ją w stosunku \(2:1\), więc \(\lvert GK\rvert=\sqrt3\).
Przyjmijmy \(G=(0,0)\), \(A=\left(3\sqrt3,0\right)\), \(K=\left(\sqrt3,0\right)\), \(S=\left(\sqrt3,H\right)\), gdzie \(H\) jest wysokością ostrosłupa. Z \(\frac{\lvert GF\rvert}{\lvert GS\rvert}=\frac13\) otrzymujemy
\[F=\left(\frac{\sqrt3}{3},\frac{H}{3}\right).\]
Warunek \(AF\perp GS\) zapisujemy jako zerowanie iloczynu skalarnego wektorów \(\vec{AF}=\left[\frac{\sqrt3}{3}-3\sqrt3,\ \frac H3\right]=\left[-\frac{8\sqrt3}{3},\ \frac H3\right]\) oraz \(\vec{GS}=\left[\sqrt3,H\right]\):
\[-\frac{8\sqrt3}{3}\cdot\sqrt3+\frac{H^2}{3}=0,\qquad H^2=24,\qquad H=2\sqrt6.\]
Pole podstawy:
\[P_p=\frac{6^2\sqrt3}{4}=9\sqrt3.\]
Objętość:
\[V=\tfrac13\cdot9\sqrt3\cdot2\sqrt6=6\sqrt{18}=18\sqrt2.\]
**Odpowiedź.** \(V=18\sqrt2\)
Klucz i zasady oceniania
**1–2 pkt** – wykazanie, że \(DE\parallel BC\), i wyznaczenie stosunku \(\frac{\lvert SF\rvert}{\lvert SG\rvert}=\frac23\).
**3–5 pkt** – zapisanie warunku prostopadłości płaszczyzn jako \(AF\perp SG\) i wyznaczenie wysokości ostrosłupa \(H=2\sqrt6\).
**6 pkt** – obliczenie objętości \(V=18\sqrt2\).
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa: obliczanie objętości ostrosłupa z użyciem podobieństwa trójkątów, własności trójkąta równobocznego i twierdzenia Pitagorasa.
