Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 12, czerwiec 2019, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \(4x^{2}+(2-4m)x+m^{2}-m-2=0\) ma dwa różne dodatnie rozwiązania \(x_{1},x_{2}\) spełniające nierówność \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leq \frac{17}{4}\).
Odpowiedź
\(m\in\left(2,3\right\rangle\). Wyróżnik jest stały i równy \(36\), a pierwiastki to \(x_1=\dfrac{m-2}{2}\) i \(x_2=\dfrac{m+1}{2}\); ich dodatniość daje \(m\gt2\), a warunek \(x_1^2+x_2^2\leqslant\dfrac{17}{4}\) prowadzi do \(m^2-m-6\leqslant0\), czyli \(-2\leqslant m\leqslant3\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Równanie kwadratowe z parametrem i trzy warunki: dwa różne rozwiązania, oba dodatnie oraz nierówność na sumę kwadratów. Tu warto najpierw policzyć wyróżnik — jeśli wyjdzie ładny, wyznaczymy same pierwiastki jako wyrażenia z \(m\) i dalsze warunki będą już zwykłymi nierównościami.
**Krok \(2\).** Mamy \(a=4\), \(b=2-4m\), \(c=m^2-m-2\), więc
\[\Delta=(2-4m)^2-4\cdot4\left(m^2-m-2\right)=4-16m+16m^2-16m^2+16m+32=36.\]
**Krok \(3\).** Wyróżnik jest stały i dodatni, więc dla każdego \(m\) równanie ma dwa różne rozwiązania. Ponieważ \(\sqrt{36}=6\):
\[x=\frac{-(2-4m)\pm6}{8}=\frac{4m-2\pm6}{8}.\]
**Krok \(4\).** Stąd
\[x_1=\frac{4m-8}{8}=\frac{m-2}{2},\qquad x_2=\frac{4m+4}{8}=\frac{m+1}{2}.\]
**Krok \(5\).** Warunek dodatniości obu rozwiązań:
\[\frac{m-2}{2}\gt0\ \text{ oraz }\ \frac{m+1}{2}\gt0,\]
czyli \(m\gt2\) oraz \(m\gt-1\). Mocniejszy jest pierwszy, więc \(m\gt2\).
**Krok \(6\).** Warunek na sumę kwadratów:
\[x_1^2+x_2^2=\frac{(m-2)^2+(m+1)^2}{4}\leqslant\frac{17}{4}.\]
Mnożymy przez \(4\):
\[(m-2)^2+(m+1)^2\leqslant17.\]
**Krok \(7\).** Rozwijamy i porządkujemy:
\[m^2-4m+4+m^2+2m+1\leqslant17\ \Longrightarrow\ 2m^2-2m-12\leqslant0\ \Longrightarrow\ m^2-m-6\leqslant0.\]
**Krok \(8\).** Trójmian \(m^2-m-6\) ma pierwiastki \(m=-2\) i \(m=3\) (bo \(\Delta=1+24=25\)), a ramiona skierowane w górę, więc jest niedodatni między pierwiastkami:
\[-2\leqslant m\leqslant3.\]
**Krok \(9\).** Bierzemy część wspólną z warunkiem \(m\gt2\):
\[m\in\left(2,3\right\rangle.\]
**Uwaga.** Wartość \(m=2\) odpada, bo wtedy \(x_1=0\), a rozwiązanie ma być dodatnie (zero dodatnie nie jest). Natomiast \(m=3\) należy do odpowiedzi, bo nierówność na sumę kwadratów jest nieostra.
**Odpowiedź.** \(m\in\left(2,3\right\rangle\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – pierwszy etap polega na obliczeniu wyróżnika trójmianu kwadratowego i stwierdzeniu, że dla każdej wartości parametru \(m\) istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste: \(\Delta=36>0\), więc równanie ma dla każdej wartości parametru \(m\) dwa rozwiązania. Za poprawne rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\) zdający otrzymuje \(1\) punkt.
**4 pkt** – drugi etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru \(m\), dla których oba pierwiastki są dodatnie, oraz na wyznaczeniu tych wszystkich wartości parametru \(m\), dla których spełniony jest warunek \(x_1+x_2\le\frac{17}{4}\). Za ten etap rozwiązania zdający otrzymuje \(4\) punkty. Podział punktów za drugi etap rozwiązania: za wyznaczenie pierwiastków w zależności od \(m\) zdający otrzymuje \(1\) punkt; za zapisanie układu nierówności i jego rozwiązanie \(m\in(2,\,+\infty)\) zdający otrzymuje \(1\) punkt; za zapisanie nierówności zdający otrzymuje \(1\) punkt; za rozwiązanie nierówności \(m\in(-2,\,3)\) zdający otrzymuje \(1\) punkt.
**1 pkt** – trzeci etap rozwiązania polega na wyznaczeniu wartości parametru \(m\) z uwzględnieniem wszystkich warunków: za zapisanie części wspólnej rozwiązań \(m\in(2,\,3)\) zdający otrzymuje \(1\) punkt.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa: badanie równania kwadratowego z parametrem, dodatniości jego pierwiastków oraz nierówności dotyczącej pierwiastków.
