Równania kwadratowe
Zadanie 10, czerwiec 2019, poziom rozszerzony
Miara kąta wewnętrznego n-kąta foremnego jest \(o 2^{\circ}\) mniejsza od miary kąta wewnętrznego (n+\(2\))-kąta foremnego. Oblicz n.
Odpowiedź
n=\(18\). Miary kątów prowadzą do równania \(180n\)/(n+\(2\))=\(180\)(n−\(2\))/n+\(2\), czyli \(n^{2}\)+\(2n\)−\(360=0\). Rozwiązania to \(18\) i −\(20\), a n musi być naturalne.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Potrzebny jest jeden wzór: suma miar kątów wewnętrznych \(n\)-kąta wynosi \((n-2)\cdot180^{\circ}\), a w wielokącie foremnym wszystkie kąty są równe, więc jeden kąt ma miarę \(\frac{(n-2)\cdot180^{\circ}}{n}\). Porównanie dwóch takich wyrażeń da równanie z niewiadomą \(n\).
**Krok \(2\).** Kąt wewnętrzny \(n\)-kąta foremnego:
\[\alpha_n=\frac{(n-2)\cdot180^{\circ}}{n}.\]
**Krok \(3\).** Kąt wewnętrzny \((n+2)\)-kąta foremnego (w miejsce \(n\) wstawiamy \(n+2\)):
\[\alpha_{n+2}=\frac{(n+2-2)\cdot180^{\circ}}{n+2}=\frac{180^{\circ}n}{n+2}.\]
**Krok \(4\).** Warunek z treści: pierwszy kąt jest o \(2^{\circ}\) mniejszy od drugiego, czyli po dodaniu \(2^{\circ}\) staje się mu równy:
\[\frac{(n-2)\cdot180}{n}+2=\frac{180n}{n+2}.\]
**Krok \(5\).** Dzielimy obie strony przez \(2\), żeby rachunki były lżejsze:
\[\frac{90(n-2)}{n}+1=\frac{90n}{n+2}.\]
**Krok \(6\).** Mnożymy stronami przez \(n(n+2)\) (jest dodatnie, bo \(n\geqslant3\)):
\[90(n-2)(n+2)+n(n+2)=90n^2.\]
**Krok \(7\).** Rozwijamy i redukujemy:
\[90\left(n^2-4\right)+n^2+2n=90n^2,\qquad 90n^2-360+n^2+2n=90n^2,\qquad n^2+2n-360=0.\]
**Krok \(8\).** Liczymy wyróżnik:
\[\Delta=2^2+4\cdot360=1444,\qquad\sqrt\Delta=38,\]
\[n=\frac{-2-38}{2}=-20\qquad\text{lub}\qquad n=\frac{-2+38}{2}=18.\]
**Krok \(9\).** Liczba boków musi być liczbą naturalną nie mniejszą niż \(3\), więc \(n=-20\) odrzucamy. Sprawdzenie: kąt \(18\)-kąta to \(\frac{16\cdot180}{18}=160^{\circ}\), a kąt \(20\)-kąta to \(\frac{18\cdot180}{20}=162^{\circ}\) — różnica wynosi \(2^{\circ}\).
**Uwaga.** Im więcej boków, tym większy kąt wewnętrzny — dlatego \(2^{\circ}\) dodajemy po stronie \(n\)-kąta. Odwrotne ustawienie znaku prowadzi do równania bez rozwiązań naturalnych.
**Odpowiedź.** \(n=18\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – gdy zdający wyrazi miarę kąta wewnętrznego n-kąta lub \((n+2)\)-kąta foremnego w zależności od \(n\), np. \(180^\circ-\frac{360^\circ}{n}\), i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
**2 pkt** – gdy zdający zapisze równanie z niewiadomą \(n\), wynikające z porównania miar kątów wewnętrznych wielokątów: \(\frac{n\cdot 180^\circ}{n+2}=\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}+2^\circ\), i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
**3 pkt** – gdy zdający zapisze równanie kwadratowe z niewiadomą \(n\) w postaci \(an^{2}+bn+c=0\), np. \(n^{2}+2n-360=0\), i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
**4 pkt** – gdy zdający obliczy liczbę wierzchołków n-kąta foremnego: \(n=18\).
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa: stosowanie wzoru na miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego i rozwiązywanie wynikowego równania kwadratowego.
