Ostrosłupy
Zadanie 32, czerwiec 2019, poziom podstawowy
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym \(432\), a stosunek długości boków tego
prostokąta jest równy \(3 : 4\) . Przekątne podstawy ABCD przecinają się w punkcie O. Odcinek SO jest
wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt SAO ma miarę \(60^{\circ}\) . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
S
D C
O
A B
Odpowiedź .................................................................................................................................... .
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: litery S, D, C, O, A, B na końcu treści to etykiety wierzchołków z rysunku, a wiersz kropek to miejsce na wpisanie odpowiedzi.
Ciąg pojedynczych liter odpowiada etykietom widocznym na dołączonym wycinku CKE; wiersz kropek pochodzi z formularza arkusza, nie z treści zadania.
Odpowiedź
\[V=2160\sqrt3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Boki prostokąta są w stosunku \(3:4\), więc mają długości \(3k\) i \(4k\). Z pola podstawy
\[3k\cdot4k=432\quad\Longrightarrow\quad k^{2}=36\quad\Longrightarrow\quad k=6,\]
czyli boki mają długości \(18\) i \(24\), a przekątna
\[|AC|=\sqrt{18^{2}+24^{2}}=\sqrt{324+576}=30.\]
Przekątne prostokąta dzielą się na połowy, więc \(|AO|=15\).
Odcinek \(SO\) jest wysokością ostrosłupa, a jego spodek \(O\) leży w punkcie przecięcia przekątnych podstawy, więc trójkąt \(SOA\) jest prostokątny przy \(O\). Z zaznaczonego na rysunku kąta \(\angle SAO=60^{\circ}\)
\[H=|SO|=|AO|\tan60^{\circ}=15\sqrt3.\]
Objętość ostrosłupa:
\[V=\frac13\cdot432\cdot15\sqrt3=2160\sqrt3.\]
**Odpowiedź.** \(V=2160\sqrt3\)
Klucz i zasady oceniania
**1–4 pkt** – kolejne poprawne etapy wyznaczenia boków \(24\) i \(18\), przekątnej \(30\) oraz wysokości \(15\sqrt{3}\).
**5 pkt** – \(V=2160\sqrt{3}\)
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 32.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.
