Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 11, czerwiec 2014, poziom rozszerzony
W urnie jest dziesięć kul: \(4\) białe, \(3\) czarne, \(2\) zielone i \(1\) niebieska. Losujemy jednocześnie trzy kule z urny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród wylosowanych kul nie ma kul w tym samym kolorze. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Odpowiedź
\[P(A)=\frac5{12}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wszystkich jednakowo prawdopodobnych trzyelementowych podzbiorów kul jest
\[|\Omega|=\binom{10}{3}=120.\]
Aby trzy wylosowane kule miały różne kolory, wybieramy jeden z czterech zestawów trzech kolorów. Liczba zdarzeń sprzyjających jest równa
\[|A|=4\cdot3\cdot2+4\cdot3\cdot1+4\cdot2\cdot1+3\cdot2\cdot1=50.\]
Zatem
\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{50}{120}=\frac5{12}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne prawdopodobieństwo \(\frac5{12}\)
**3 pkt** – poprawne obliczenie \(|\Omega|=120\) oraz \(|A|=50\), bez poprawnego wyniku końcowego
**2 pkt** – poprawne obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających \(|A|=50\)
**1 pkt** – poprawne zapisanie \(|\Omega|=\binom{10}{3}\) albo wskazanie czterech możliwych zestawów trzech różnych kolorów
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne. Zdający dobiera model matematyczny do sytuacji.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający wykorzystuje symbol Newtona i klasyczną definicję prawdopodobieństwa do zliczania wyników losowania bez zwracania.
