Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 12, czerwiec 2012, poziom rozszerzony
Zdarzenia losowe \(A,B\) są zawarte w \(\Omega\) oraz
\[P(A\cap B^{\prime})=0{,}1\qquad\text{i}\qquad P(A^{\prime}\cap B)=0{,}2.\]
Wykaż, że
\[P(A\cap B)\leq0{,}7,\]
gdzie \(A^{\prime}\) oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia \(A\), a \(B^{\prime}\) oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia \(B\).
Odpowiedź
Zdarzenia A∩B′, A′∩B oraz A∩B są parami rozłączne i ich suma jest zawarta w Ω. Zatem \(1\)≥P(A∪B)=\(0,1+0,2\)+P(A∩B), skąd P(A∩B)≤\(0\),\(7\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typowe rozbicie sumy zdarzeń na trzy rozłączne kawałki. Narysuj dwa przecinające się koła: część należąca tylko do \(A\) to \(A\cap B^{\prime}\), część należąca tylko do \(B\) to \(A^{\prime}\cap B\), a część wspólna to \(A\cap B\). Do dowodu wykorzystamy dwa fakty: prawdopodobieństwo sumy zdarzeń rozłącznych jest sumą prawdopodobieństw oraz prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia nie przekracza \(1\).
**Krok \(2\).** Zdarzenia \(A\cap B^{\prime}\), \(A^{\prime}\cap B\) oraz \(A\cap B\) są parami rozłączne (żadne zdarzenie elementarne nie może jednocześnie należeć i nie należeć do \(B\)), a ich suma to dokładnie \(A\cup B\):
\[\left(A\cap B^{\prime}\right)\cup\left(A^{\prime}\cap B\right)\cup\left(A\cap B\right)=A\cup B.\]
**Krok \(3\).** Z addytywności prawdopodobieństwa dla zdarzeń parami rozłącznych:
\[P(A\cup B)=P\left(A\cap B^{\prime}\right)+P\left(A^{\prime}\cap B\right)+P(A\cap B).\]
**Krok \(4\).** Podstawiamy dane liczbowe:
\[P(A\cup B)=0{,}1+0{,}2+P(A\cap B)=0{,}3+P(A\cap B).\]
**Krok \(5\).** Korzystamy z tego, że prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nie większe od \(1\), w szczególności \(P(A\cup B)\leqslant1\):
\[0{,}3+P(A\cap B)\leqslant1.\]
**Krok \(6\).** Stąd \(P(A\cap B)\leqslant0{,}7\), co należało wykazać.
**Uwaga.** W rozwiązaniu trzeba wyraźnie napisać, że rozpatrywane trzy zdarzenia są parami rozłączne — bez tego nie wolno dodawać ich prawdopodobieństw. Nierówność \(P(A\cup B)\leqslant1\) jest drugim, równie potrzebnym składnikiem dowodu.
**Odpowiedź.** Ponieważ \(P(A\cup B)=0{,}1+0{,}2+P(A\cap B)\) i jednocześnie \(P(A\cup B)\leqslant1\), otrzymujemy \(P(A\cap B)\leqslant0{,}7\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zdający zapisze, że \(P\left(\left(A\cap B'\right)\cup\left(A'\cap B\right)\cup\left(A\cap B\right)\right)\le 1\); albo zdający sporządzi diagram Venna, na którym zaznaczy zdarzenia \(A'\cap B\) i \(A\cap B'\).
**Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zdający zapisze, że zdarzenia \(A\cap B'\), \(A'\cap B\), \(A\cap B\) są parami rozłączne; albo zdający sporządzi diagram Venna, na którym zaznaczy zdarzenia \(A'\cap B\) i \(A\cap B'\) oraz zapisze, np.: \(P\left(A'\cap B\right)+P\left(A\cap B'\right)+P\left(A\cap B\right)=P\left(A\cup B\right)\), skąd wynika, że zdarzenia \(A'\cap B\), \(A\cap B'\), \(A\cap B\) są parami rozłączne.
**3 pkt** – zdający przeprowadzi pełny dowód.
Uwaga: jeżeli zdający przeprowadzi pełny dowód, ale nie zapisze, że podane zdarzenia są parami rozłączne, to otrzymuje \(2\) punkty.
Wymagania podstawy programowej
V. Rozumowanie i argumentacja. Wykorzystanie własności prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (V.10.c.d).
