Równania i nierówności
Zadanie 9, arkusz pokazowy 2023, poziom rozszerzony
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkt \(A=(9,12)\) jest wierzchołkiem trójkąta \(ABC\). Prosta \(k\) o równaniu
\[y=\frac12x\]
zawiera dwusieczną kąta \(ABC\) tego trójkąta. Okrąg \(\mathcal O\) o równaniu
\[(x-8)^2+(y-4)^2=16\]
jest wpisany w ten trójkąt.
**Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki \(B\) i \(C\) tego trójkąta z okręgiem \(\mathcal O\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
Punkt styczności ma współrzędne
\[(8,0).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(l\) będzie prostą zawierającą bok \(AB\). Jest ona styczna do okręgu \(\mathcal O\) i przechodzi przez \(A=(9,12)\), więc ma równanie
\[y=ax+12-9a.\]
W postaci ogólnej:
\[ax-y+12-9a=0.\]
Środek okręgu to \(S=(8,4)\), a promień jest równy \(4\). Warunek styczności daje
\[\frac{|8a-4+12-9a|}{\sqrt{a^2+1}}=4.\]
Po podniesieniu do kwadratu:
\[15a^2+16a-48=0,\]
stąd
\[a=\frac43\quad\text{lub}\quad a=-\frac{12}{5}.\]
Dla \(a=\frac43\) prosta \(l\) ma równanie \(y=\frac43x\). Jej punkt przecięcia z dwusieczną \(k\colon y=\frac12x\) to
\[B=(0,0).\]
Druga z otrzymanych prostych nie może zawierać boku \(AB\), ponieważ wraz z prostą \(k\) tworzyłaby po stronie środka okręgu kąt większy niż \(90^\circ\), podczas gdy \(k\) jest dwusieczną kąta wewnętrznego trójkąta.
Okrąg \(\mathcal O\) o środku \((8,4)\) i promieniu \(4\) jest styczny do osi \(Ox\). Ponieważ \(B=(0,0)\), prosta \(BC\) ma równanie
\[y=0\]
i jest styczna do okręgu w punkcie
\[(8,0).\]
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – wyznaczenie prostej \(BC\) i punktu styczności \((8,0)\)
**5 pkt** – uzasadnione odrzucenie drugiej prostej stycznej przechodzącej przez \(A\) oraz obliczenie \(B=(0,0)\)
**4 pkt** – obliczenie \(B=(0,0)\) albo poprawne uzasadnienie, że druga kandydatka nie zawiera boku \(AB\)
**3 pkt** – wyznaczenie obu prostych stycznych do okręgu przechodzących przez \(A\): \(y=\frac43x\) i \(y=-\frac{12}{5}x+\frac{168}{5}\)
**2 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na odległość punktu od prostej i zapisanie równania wyznaczającego współczynnik kierunkowy
**1 pkt** – zapisanie równania prostej stycznej przechodzącej przez \(A\) ze współczynnikami zależnymi od jednego parametru
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.R1) Zdający posługuje się równaniem prostej w postaci ogólnej na płaszczyźnie i wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach. IX.R3) Zdający znajduje punkty wspólne prostej i okręgu.
