Trójkąty
Zadanie 28, arkusz pokazowy 2010 P2, poziom podstawowy
Podstawą ostrosłupa \(ABCS\) jest trójkąt równoboczny \(ABC\) o boku długości \(8\). Punkt \(D\) jest środkiem krawędzi \(AB\), odcinek \(DS\) jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie \(AS\) i \(BS\) mają długość \(7\). Oblicz długość krawędzi \(CS\) tego ostrosłupa.
Odpowiedź
\[\lvert CS\rvert=9.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Punkt \(D\) jest środkiem \(AB\), więc \(\lvert AD\rvert=\lvert DB\rvert=4\).
Odcinek \(DS\) jest wysokością ostrosłupa, czyli \(DS\perp\) płaszczyzna podstawy; w szczególności trójkąt \(ADS\) jest prostokątny i
\[\lvert DS\rvert=\sqrt{\lvert AS\rvert^2-\lvert AD\rvert^2}=\sqrt{49-16}=\sqrt{33}.\]
W trójkącie równobocznym \(ABC\) odcinek \(CD\) jest wysokością, więc
\[\lvert CD\rvert=\frac{8\sqrt3}{2}=4\sqrt3.\]
Trójkąt \(CDS\) jest prostokątny (\(DS\) jest prostopadły do podstawy, a \(CD\) leży w podstawie), zatem
\[\lvert CS\rvert=\sqrt{\lvert CD\rvert^2+\lvert DS\rvert^2}=\sqrt{48+33}=\sqrt{81}=9.\]
**Odpowiedź.** \(\lvert CS\rvert=9\)
Klucz i zasady oceniania
**1–2 pkt** – obliczenie \(\lvert DS\rvert=\sqrt{33}\).
**3–4 pkt** – obliczenie \(\lvert CD\rvert=4\sqrt3\) i zapisanie zależności Pitagorasa w trójkącie \(CDS\).
**5 pkt** – obliczenie \(\lvert CS\rvert=9\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.
