Inne zagadnienia
Zadanie 29, arkusz pokazowy 2010 P2, poziom podstawowy
Punkt \(M\) leży wewnątrz prostokąta \(ABCD\) (zob. rysunek). Udowodnij, że
\[
|AM|^2+|CM|^2=|BM|^2+|DM|^2.
\]
Odpowiedź
Równość \(|AM|^2+|CM|^2=|BM|^2+|DM|^2\) zachodzi dla każdego punktu \(M\) leżącego wewnątrz prostokąta \(ABCD\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że \(ABCD\) jest prostokątem o wierzchołkach kolejno \(A\) (lewy dolny), \(B\) (prawy dolny), \(C\) (prawy górny), \(D\) (lewy górny), a punkt \(M\) leży w jego wnętrzu.
Wprowadzamy układ współrzędnych o początku w wierzchołku \(A\), z osią \(Ox\) wzdłuż boku \(AB\) i osią \(Oy\) wzdłuż boku \(AD\). Oznaczmy \(|AB|=a>0\) i \(|AD|=b>0\). Wtedy
\[A=(0,0),\qquad B=(a,0),\qquad C=(a,b),\qquad D=(0,b),\]
a punkt wewnętrzny ma współrzędne \(M=(x,y)\), gdzie \(0<x<a\) i \(0<y<b\).
Ze wzoru na kwadrat odległości punktów obliczamy obie strony tezy:
\[|AM|^2+|CM|^2=\left(x^{2}+y^{2}\right)+\left((x-a)^{2}+(y-b)^{2}\right),\]
\[|BM|^2+|DM|^2=\left((x-a)^{2}+y^{2}\right)+\left(x^{2}+(y-b)^{2}\right).\]
Po prawych stronach występują te same cztery składniki \(x^{2}\), \(y^{2}\), \((x-a)^{2}\), \((y-b)^{2}\), tylko inaczej pogrupowane. Obie sumy są więc równe.
**Odpowiedź.** \(|AM|^2+|CM|^2=|BM|^2+|DM|^2\), co należało udowodnić. Warto zauważyć, że w rachunku nie skorzystaliśmy z założenia \(0<x<a\), \(0<y<b\) — równość zachodzi dla dowolnego punktu płaszczyzny, a założenie o wnętrzu prostokąta zapewnia jedynie zgodność z rysunkiem.
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – przeprowadzenie pełnego, poprawnego dowodu
**Uwaga:** Centralna Komisja Egzaminacyjna nie opublikowała dla tego arkusza pokazowego pełnego schematu oceniania z progami cząstkowymi. Podana punktacja całkowita (\(5\) pkt) pochodzi z arkusza; progów pośrednich nie odtwarzamy, żeby nie przypisywać CKE kryteriów, których nie ogłosiła.
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** przeprowadzanie dowodu geometrycznego metodą współrzędnych — dobranie układu współrzędnych do figury, zapisanie współrzędnych wierzchołków i zastosowanie wzoru na odległość punktów.
