Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 38, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości
\[|AB|=4,\qquad |BC|=5,\qquad |AC|=6.\]
Na tym trójkącie opisano okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(R\).
**Oblicz promień \(R\) okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\).**
Odpowiedź
\[R=\frac{8\sqrt7}{7}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(|\angle CAB|=\alpha\). Z twierdzenia cosinusów
\[5^2=6^2+4^2-2\cdot6\cdot4\cos\alpha,\]
więc
\[\cos\alpha=\frac9{16}.\]
Ponieważ \(\alpha\) jest kątem trójkąta, \(\sin\alpha>0\), zatem
\[\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac9{16}\right)^2}=\frac{5\sqrt7}{16}.\]
Z twierdzenia sinusów
\[\frac{|BC|}{\sin\alpha}=2R,\]
stąd
\[R=\frac5{2\cdot(5\sqrt7/16)}=\frac8{\sqrt7}=\frac{8\sqrt7}{7}.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(R=\frac{8\sqrt7}{7}\)
**2 pkt** – obliczenie sinusa jednego z kątów trójkąta albo obliczenie cosinusa i poprawne zapisanie równań z twierdzenia sinusów oraz jedynki trygonometrycznej
**1 pkt** – obliczenie cosinusa jednego z kątów albo poprawne zastosowanie twierdzeń cosinusów i sinusów dla tego samego kąta
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1 i III.3 operowanie obiektami oraz tworzenie obiektów pomocniczych.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.5 i VIII.1 stosowanie twierdzeń sinusów i cosinusów oraz wyznaczanie promienia okręgu opisanego.
