Równania i nierówności
Zadanie 20, próbna marzec 2026, poziom podstawowy
Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Punkt \(K\) jest punktem przecięcia cięciwy \(AC\) i średnicy \(BD\). Kąt \(COB\) jest prosty, a kąt \(AKD\) ma miarę \(78^{\circ}\) (zobacz rysunek).
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Miara kąta ostrego \(BDA\) jest równa
**A.** \(45^{\circ}\)
**B.** \(51^{\circ}\)
**C.** \(57^{\circ}\)
**D.** \(78^{\circ}\)
Odpowiedź
**C.** \(57^\circ\)
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(\angle COB=90^\circ\), miara łuku \(CB\) jest równa \(90^\circ\). Dla kąta utworzonego przez przecinające się cięciwy mamy
\[2\cdot78^\circ=m(\overset{\frown}{AD})+m(\overset{\frown}{CB}),\]
czyli
\[m(\overset{\frown}{AD})=156^\circ-90^\circ=66^\circ.\]
Punkty \(D,A,B\) leżą na jednym półokręgu, więc
\[m(\overset{\frown}{AB})=180^\circ-66^\circ=114^\circ.\]
Kąt wpisany \(BDA\) oparty na łuku \(AB\) ma zatem miarę
\[\angle BDA=\frac12\cdot114^\circ=57^\circ.\]
Poprawna jest odpowiedź **C**.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **C**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.5) Zdający stosuje własności kątów wpisanych i środkowych.
