Funkcja kwadratowa
Zadanie 36, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Dany jest prostokąt \(ABCD\), w którym \(|AD|=2\). Kąt \(BDA\) ma miarę \(\alpha\), taką że
\[\tan\alpha=2.\]
Przekątna \(BD\) i prosta przechodząca przez wierzchołek \(C\), prostopadła do \(BD\), przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).
**Oblicz długość odcinka \(CE\).**
Odpowiedź
\[|CE|=\frac4{\sqrt5}=\frac{4\sqrt5}{5}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
W trójkącie prostokątnym \(ABD\):
\[\tan\alpha=\frac{|AB|}{|AD|}=2,\]
więc \(|AB|=4\), a zatem także \(|DC|=4\). Z twierdzenia Pitagorasa
\[|BD|=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5.\]
Trójkąty \(ABD\) i \(ECD\) są podobne. Dla odpowiadających sobie boków
\[\frac{|DA|}{|BD|}=\frac{|EC|}{|DC|}.\]
Po podstawieniu
\[\frac2{2\sqrt5}=\frac{|EC|}{4},\]
czyli
\[|EC|=\frac4{\sqrt5}=\frac{4\sqrt5}{5}.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – prawidłowa metoda i wynik \(|EC|=\frac{4\sqrt5}{5}\) lub \(\frac4{\sqrt5}\)
**2 pkt** – zapisanie właściwej proporcji z podobieństwa oraz obliczenie \(|BD|=2\sqrt5\), albo równoważne równanie z twierdzenia Pitagorasa
**1 pkt** – stwierdzenie podobieństwa odpowiednich trójkątów oraz obliczenie \(|AB|=4\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1 i III.3 operowanie obiektami i tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.8 i VIII.11 korzystanie z podobieństwa trójkątów oraz stosowanie funkcji trygonometrycznych do wyznaczania długości odcinków.
