Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 18, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\) o kącie prostym przy wierzchołku \(C\) i obwodzie równym \(2p\). Na prostej \(AB\) obrano punkty \(D\) i \(E\) leżące na zewnątrz odcinka \(AB\) takie, że \(AD=AC\) i \(BE=BC\) (zobacz rysunek). Wykaż, że promień okręgu opisanego na trójkącie \(ECD\) jest równy \(p\sqrt2\).
Odpowiedź
Promień okręgu opisanego na trójkącie \(ECD\) jest równy \(p\sqrt2\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(\alpha=\angle BAC\), \(\beta=\angle ABC\). Trójkąty \(CAD\) i \(CBE\) są równoramienne, dlatego \(\angle DCA=\frac\alpha2\) i \(\angle ECB=\frac\beta2\). Ponieważ \(\alpha+\beta=90^\circ\),
\[\angle ECD=\frac\alpha2+90^\circ+\frac\beta2=135^\circ.\]
Mamy też \(ED=AD+AB+BE=AC+AB+BC=2p\). Z twierdzenia sinusów dla trójkąta \(ECD\):
\[2R=\frac{ED}{\sin135^\circ}=\frac{2p}{\sqrt2/2}=2p\sqrt2.\]
Zatem \(R=p\sqrt2\).
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 6 pkt** – pełny dowód
**4: 5 pkt** – poprawne wyznaczenie kąta \(135^\circ\) i zastosowanie twierdzenia sinusów z drobnym błędem
**2: 3 pkt** – poprawne zależności kątowe lub ustalenie \(ED=2p\)
**1 pkt** – istotny poprawny krok geometryczny
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność.
**Wymagania szczegółowe:**
7.5. R. Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.
