Trójkąty
Zadanie 19, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Ramię \(AD\) trapezu \(ABCD\), w którym \(AB\parallel CD\), przedłużono do punktu \(E\) takiego, że \(AE=3\cdot AD\). Punkt \(M\) leży na podstawie \(AB\) oraz \(MB=4\cdot AM\). Odcinek \(ME\) przecina przekątną \(BD\) w punkcie \(P\) (zobacz rysunek). Udowodnij, że \(BP=6\cdot PD\).
Odpowiedź
\[BP=6\cdot PD.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(N\) będzie punktem przecięcia prostej \(ME\) z prostą \(DC\). Trójkąty \(AME\) i \(DNE\) są podobne. Ponieważ \(AE=3AD\), mamy \(DE=2AD\), więc
\[\frac{AM}{DN}=\frac{AE}{DE}=\frac32,\qquad DN=\frac23AM.\]
Trójkąty \(MBP\) i \(NDP\) także są podobne, zatem
\[\frac{BP}{DP}=\frac{BM}{DN}=\frac{4AM}{(2/3)AM}=6.\]
Stąd \(BP=6PD\), co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 3 pkt** – pełny dowód
**2 pkt** – poprawne użycie obu podobieństw z drobnym błędem końcowym
**1 pkt** – wyznaczenie \(DN=\frac23AM\) albo rozpoznanie drugiej pary trójkątów podobnych
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność.
**Wymagania szczegółowe:**
7.3. Zdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów.
