Trójkąty
Zadanie 17, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Dany jest trójkąt \(ABC\) i prosta \(k\) styczna w punkcie \(A\) do okręgu opisanego na tym trójkącie. Prosta \(BC\) przecina prostą \(k\) w punkcie \(P\). Dane są długości \(AC=12\), \(BC=9\) i \(PB=17\) (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka \(AB\). Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Odpowiedź
\[AB=\frac{12\sqrt{17\cdot26}}{26}\approx9{,}7032.\] Należy zakodować cyfry \(9,7,0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą trójkąty \(APB\) i \(CPA\) są podobne. Oznaczmy \(PA=y\) i \(AB=x\). Ponieważ \(PC=PB+BC=26\), z podobieństwa
\[\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA},\qquad \frac{y}{26}=\frac{17}{y},\]
więc \(y=\sqrt{17\cdot26}\). Ponadto
\[\frac{AB}{PA}=\frac{AC}{PC},\qquad \frac{x}{y}=\frac{12}{26}.\]
Stąd \(x=\frac{12\sqrt{17\cdot26}}{26}\approx9{,}7032\), więc kod to \(970\).
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje dwa rozwiązania wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 3 pkt** – poprawna długość i kod \(970\)
**2 pkt** – poprawne podobieństwo i wyznaczenie \(PA=\sqrt{17\cdot26}\)
**1 pkt** – rozpoznanie podobieństwa trójkątów
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
7.4. R. Zdający rozpoznaje figury podobne i jednokładne; wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności.
