Czworokąty
Zadanie 16, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których krótsza podstawa ma długość \(5\) i każde z ramion też ma długość \(5\). Oblicz długość dłuższej podstawy tego z rozpatrywanych trapezów, który ma największe pole. Oblicz to pole.
Odpowiedź
Dłuższa podstawa ma długość \(10\), a największe pole wynosi \(\frac{75\sqrt3}{4}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech dłuższa podstawa ma długość \(5+2x\), gdzie \(0<x<5\). Wysokość trapezu wynosi \(h=\sqrt{25-x^2}\), zatem
\[P(x)=(5+x)\sqrt{25-x^2}.\]
Ponieważ pierwiastek jest funkcją rosnącą, maksymalizujemy
\[F(x)=P(x)^2=(5+x)^2(25-x^2).\]
Analiza pochodnej daje maksimum dla \(x=\frac52\). Wtedy dłuższa podstawa ma długość \(5+2x=10\), wysokość wynosi \(\frac{5\sqrt3}{2}\), a więc
\[P_{\max}=\frac{5+10}{2}\cdot\frac{5\sqrt3}{2}=\frac{75\sqrt3}{4}.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 7 pkt** – poprawna długość podstawy \(10\) i pole \(\frac{75\sqrt3}{4}\) z pełną analizą
**5: 6 pkt** – poprawny model i punkt maksimum z drobnym błędem końcowym
**3: 4 pkt** – poprawna funkcja pola i rozpoczęta optymalizacja
**1: 2 pkt** – poprawne wyrażenie wysokości lub pola
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne. Zdający buduje model matematyczny danej sytuacji, uwzględniając ograniczenia i zastrzeżenia.
**Wymagania szczegółowe:**
11.6. R. Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.
