Inne zagadnienia
Zadanie 21.2, sierpień 2025, poziom podstawowy
Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\) i o promieniu \(36\). Punkt \(S\) leży na odcinku \(BD\). Kąt \(BDA\) ma miarę \(40^{\circ}\), a kąt \(DBC\) ma miarę \(65^{\circ}\) (zobacz rysunek).
Długość łuku \(BC\), na którym jest oparty kąt wpisany \(CDB\), jest równa
**A.** \(8\pi\)
**B.** \(10\pi\)
**C.** \(13\pi\)
**D.** \(20\pi\)
Odpowiedź
**B.** \(10\pi\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że punkty \(B\) i \(D\) leżą na okręgu, a środek \(S\) leży na odcinku \(BD\) — odcinek \(BD\) jest więc średnicą okręgu.
Kąt \(BCD\) jest kątem wpisanym opartym na średnicy, zatem
\[|\angle BCD|=90^{\circ}.\]
W trójkącie \(BCD\) znamy \(|\angle DBC|=65^{\circ}\), więc z sumy kątów
\[|\angle CDB|=180^{\circ}-90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}.\]
Kąt \(CDB\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \(BC\), a kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy:
\[|\angle BSC|=2\cdot25^{\circ}=50^{\circ}.\]
Długość łuku o mierze \(\varphi\) w okręgu o promieniu \(r\) wynosi \(\frac{\varphi}{360^{\circ}}\cdot2\pi r\). Dla \(\varphi=50^{\circ}\) i \(r=36\):
\[\ell=\frac{50}{360}\cdot2\pi\cdot36=\frac{50}{360}\cdot72\pi=10\pi.\]
Kąt \(BDA=40^{\circ}\) jest w tym rachunku daną zbędną.
**Odpowiedź.** B. \(10\pi\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.6) Zdający stosuje wzory na […] długość łuku okręgu.
