Okręgi i koła
Zadanie 19, sierpień 2021, poziom podstawowy
Cięciwy \(DB\) i \(AC\) okręgu przecinają się w punkcie \(E\). Dane są kąty \(|\angle ACB|=55^\circ\) i \(|\angle AEB|=140^\circ\) (zobacz rysunek). Kąt \(DAC\) ma miarę
**A.** \(45^\circ\)
**B.** \(55^\circ\)
**C.** \(70^\circ\)
**D.** \(85^\circ\)
Odpowiedź
**D.** \(85^\circ\)
Rozwiązanie krok po kroku
Kąt wpisany \(ACB\) ma miarę \(55^\circ\), więc łuk \(AB\) ma miarę
\[2\cdot55^\circ=110^\circ.\]
Dla cięciw przecinających się wewnątrz okręgu:
\[|\angle AEB|=\frac12\bigl(\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}\bigr).\]
Stąd
\[140^\circ=\frac12(110^\circ+\overset{\frown}{CD}),\]
więc łuk \(CD\) ma miarę \(170^\circ\). Kąt wpisany \(DAC\), oparty na tym łuku, ma zatem miarę
\[|\angle DAC|=\frac12\cdot170^\circ=85^\circ.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
stosowanie własności kątów wpisanych oraz kąta utworzonego przez cięciwy przecinające się wewnątrz okręgu.
