Ostrosłupy
Zadanie 34, sierpień 2019, poziom podstawowy
Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest równa \(12\) (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt \(\alpha\) taki, że
\[\tan\alpha=\frac2{\sqrt5}.\]
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odpowiedź
Objętość ostrosłupa jest równa
\[V=\frac{512\sqrt5}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(O\) będzie środkiem kwadratowej podstawy. Trójkąt \(AOS\) jest prostokątny, \(|AS|=12\), a
\[\tan\alpha=\frac{|AO|}{|SO|}=\frac2{\sqrt5}.\]
Przyjmujemy więc \(|AO|=2x\) i \(|SO|=\sqrt5x\). Z twierdzenia Pitagorasa
\[(2x)^2+(\sqrt5x)^2=12^2,\]
\[9x^2=144,\qquad x=4.\]
Stąd wysokość \(H=|SO|=4\sqrt5\), a połowa przekątnej podstawy \(|AO|=8\), więc przekątna kwadratu ma długość \(16\). Krawędź podstawy jest równa
\[a=\frac{16}{\sqrt2}=8\sqrt2,\]\na pole podstawy \(a^2=128\). Zatem
\[V=\frac13\cdot128\cdot4\sqrt5=\frac{512\sqrt5}{3}.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – obliczenie objętości \(V=\frac{512\sqrt5}{3}\)
**4 pkt** – obliczenie wysokości \(H=4\sqrt5\) oraz krawędzi podstawy \(a=8\sqrt2\) lub przekątnej podstawy \(AC=16\)
**3 pkt** – obliczenie wysokości, krawędzi podstawy, przekątnej podstawy albo współczynnika proporcjonalności \(x=4\)
**2 pkt** – zapisanie dwóch poprawnych zależności prowadzących do wyznaczenia wymiarów, np. \(|AO|:|SO|=2:\sqrt5\) oraz \(|AO|^2+|SO|^2=12^2\)
**1 pkt** – zapisanie jednej koniecznej zależności trygonometrycznej lub pitagorejskiej wskazanej w kluczu CKE
**0 pkt** – błędna interpretacja kąta między krawędzią boczną i wysokością albo brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** stereometria - ostrosłup prawidłowy czworokątny, funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym, przekątna kwadratu i objętość ostrosłupa.
