Zadanie 9 – matura z matematyki sierpień 2010, poziom rozszerzony

Prawdopodobieństwo wynosi \(\frac{1}{35}\). Wszystkich ustawień jest \(8\)!. Warunek zachodzi dokładnie wtedy, gdy liczby parzyste i nieparzyste występują na przemian. Początkową parzystość wybieramy na \(2\) sposoby, a liczby obu parzystości ustawiamy na \(4\)!·\(4\)! sposobów, więc P=\(2\cdot 4\)!·\(4\)!/\(8\)!=\(\frac{1}{35}\).

**Krok \(1\).** Ustawiamy w szeregu \(8\) różnych liczb, więc zdarzeniami elementarnymi są permutacje tych liczb i wszystkie są jednakowo prawdopodobne. Zadanie sprowadza się do policzenia, ile permutacji spełnia podany warunek. Warunek dotyczy parzystości sum, więc od razu przetłumaczmy go na parzystość samych liczb. **Krok \(2\).** Wszystkich ustawień jest \[|\Omega|=8!=40320.\] **Krok \(3\).** Suma dwóch liczb jest nieparzysta dokładnie wtedy, gdy jedna z nich jest parzysta, a druga nieparzysta. Warunek ma dotyczyć każdej pary sąsiadów, więc sąsiednie liczby muszą mieć różną parzystość, czyli parzyste i nieparzyste muszą stać na przemian. **Krok \(4\).** Wśród danych liczb są cztery nieparzyste (\(1,3,5,7\)) i cztery parzyste (\(2,4,6,8\)). Naprzemienne ustawienie ośmiu liczb może więc wyglądać na dwa sposoby: albo na miejscach nieparzystych stoją liczby nieparzyste, albo parzyste. To daje czynnik \(2\). **Krok \(5\).** Gdy ustalimy już, na których czterech miejscach mają stanąć liczby nieparzyste, możemy je tam rozmieścić na \(4!\) sposobów, a niezależnie od tego liczby parzyste na pozostałych czterech miejscach na \(4!\) sposobów. **Krok \(6\).** Zatem \[|A|=2\cdot4!\cdot4!=2\cdot24\cdot24=1152.\] **Krok \(7\).** Obliczamy prawdopodobieństwo i skracamy ułamek: \[P(A)=\frac{1152}{40320}=\frac{2\cdot4!\cdot4!}{8!}=\frac{2\cdot24\cdot24}{40320}=\frac{1}{35}.\] **Uwaga.** Łatwo zgubić czynnik \(2\) z kroku \(4\) i otrzymać \(\frac1{70}\) — trzeba pamiętać, że szereg może zaczynać się zarówno od liczby parzystej, jak i nieparzystej. Zadanie wymaga też podania wyniku w postaci nieskracalnej, więc ułamka \(\frac{1152}{40320}\) nie wolno zostawić. **Odpowiedź.** \(P(A)=\dfrac1{35}\).

*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.* *Schemat oceniania I sposobu rozwiązania* **Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania** – zdający obliczy \(\lvert\Omega\rvert=8!\) albo zdający zauważy, że suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta, jeżeli w szeregu będą występowały na przemian liczby parzyste i nieparzyste, i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie. **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zdający obliczy \(\lvert\Omega\rvert=8!\) i zauważy, że suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta, jeżeli w szeregu będą występowały na przemian liczby parzyste i nieparzyste, i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie. **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zdający obliczy \(\lvert\Omega\rvert=8!\) i \(\lvert A\rvert=[\ldots]\) i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie. **Rozwiązanie bezbłędne** – zdający obliczy prawdopodobieństwo i poda wynik w postaci ułamka nieskracalnego: \(P(A)=\frac{1}{35}\). Uwagi: jeżeli zdający zapisze \(\lvert A\rvert=[\ldots]\) i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo \(P(A)=\frac{1}{70}\), to przyznajemy \(2\) punkty. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy albo nie poda wyniku w postaci ułamka nieskracalnego, to przyznajemy \(3\) punkty. *Schemat oceniania II sposobu rozwiązania* **Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania** – zdający zauważy, że aby rozwiązać zadanie, wystarczy znać numery miejsc, na których stoją liczby parzyste (nieparzyste), i obliczy \(\lvert\Omega\rvert=\binom{8}{4}\) albo zdający zauważy, że suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta, jeżeli w szeregu będą występowały na przemian liczby parzyste i nieparzyste, i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie. **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zdający obliczy \(\lvert\Omega\rvert=\binom{8}{4}\) i zauważy, że suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta, jeżeli w szeregu będą występowały na przemian liczby parzyste i nieparzyste, i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie. **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zdający obliczy \(\lvert\Omega\rvert=\binom{8}{4}\) i \(\lvert A\rvert=2\) i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie. **Rozwiązanie pełne** – zdający obliczy prawdopodobieństwo i poda wynik w postaci ułamka nieskracalnego: \(P(A)=\frac{1}{35}\). Uwagi: jeżeli zdający zapisze \(\lvert A\rvert=[\ldots]\) i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo \(P(A)=\frac{1}{70}\), to przyznajemy \(2\) punkty. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy lub nie poda wyniku w postaci ułamka nieskracalnego, to przyznajemy \(3\) punkty.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: klasyczna definicja prawdopodobieństwa i zliczanie permutacji spełniających warunek.