Okręgi i koła
Zadanie 19, sierpień 2010, poziom podstawowy
Punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(G\), \(H\), \(I\), \(J\) dzielą okrąg o środku \(S\) na dziesięć równych łuków. Oblicz miarę kąta wpisanego \(BGE\) zaznaczonego na rysunku.
**A.** \(54^\circ\)
**B.** \(72^\circ\)
**C.** \(60^\circ\)
**D.** \(45^\circ\)
Odpowiedź
**A.** \(54^\circ\)
Rozwiązanie krok po kroku
Dziesięć równych łuków dzieli kąt pełny, więc każdy z nich ma miarę
\[\frac{360^\circ}{10}=36^\circ.\]
Z rysunku odczytujemy kolejność punktów na okręgu (zgodnie z ruchem wskazówek zegara od \(G\)): \(G, F, E, D, C, B, A, J, I, H\). Łuk \(BE\), na którym oparty jest kąt wpisany \(BGE\) — czyli ten łuk, który nie zawiera punktu \(G\) — składa się z trzech łuków: \(BC\), \(CD\) i \(DE\). Ma więc miarę
\[3\cdot36^\circ=108^\circ.\]
Kąt wpisany ma miarę o połowę mniejszą od kąta środkowego opartego na tym samym łuku:
\[\lvert\angle BGE\rvert=\tfrac12\cdot108^\circ=54^\circ.\]
**Odpowiedź.** A. \(54^\circ\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria płaska – oblicza kąt wpisany z podziału okręgu na równe łuki.
