Ciągi
Zadanie 2, próbna grudzień 2024, poziom rozszerzony
Okrąg \(\mathcal O\) jest styczny do boków \(AC\) i \(BC\) trójkąta \(ABC\) oraz przecina bok \(AB\) tego trójkąta w punktach \(M\) oraz \(N\), przy czym
\[0<|AM|<|AN|<|AB|.\]
**Wykaż, że jeśli \(|AM|=|BN|\), to trójkąt \(ABC\) jest równoramienny.**
Odpowiedź
\[|AC|=|BC|,\]
więc trójkąt \(ABC\) jest równoramienny.
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(D\) punkt styczności okręgu \(\mathcal O\) z bokiem \(AC\), a przez \(E\) punkt styczności z bokiem \(BC\).
Z twierdzenia o odcinkach stycznych poprowadzonych z jednego punktu wynika
\[|CD|=|CE|.\]
Z twierdzenia o odcinkach siecznej i stycznej mamy
\[|AD|^2=|AM|\cdot|AN|\]
oraz
\[|BE|^2=|BN|\cdot|BM|.\]
Ponieważ \(|AM|=|BN|\) oraz
\[|AN|=|AM|+|MN|=|BN|+|MN|=|BM|,\]
otrzymujemy
\[|AD|^2=|BE|^2.\]
Długości są dodatnie, więc \(|AD|=|BE|\). Wobec tego
\[|AC|=|AD|+|DC|=|BE|+|EC|=|BC|.\]
Zatem trójkąt \(ABC\) jest równoramienny.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania
**1 pkt** – uzasadnienie, że \(|CD|=|CE|\), albo uzasadnienie, że \(|AD|=|BE|\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.11) Zdający przeprowadza dowody geometryczne.
