Stereometria
Zadanie 3, próbna grudzień 2024, poziom rozszerzony
Iloczyn długości średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równy
\[12\sqrt3.\]
Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe
\[12\pi(\sqrt3+1).\]
**Oblicz objętość tego walca. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[V=18\pi\sqrt2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(r\) oznacza promień podstawy walca, a \(h\) jego wysokość. Z warunków zadania otrzymujemy
\[2r\cdot h=12\sqrt3\]
oraz
\[2\pi r^2+2\pi rh=12\pi(\sqrt3+1).\]
Z pierwszego równania
\[h=\frac{6\sqrt3}{r}.\]
Podstawiamy do drugiego równania:
\[2\pi r^2+2\pi r\cdot\frac{6\sqrt3}{r}=12\pi(\sqrt3+1),\]
\[2\pi r^2+12\sqrt3\pi=12\sqrt3\pi+12\pi,\]
\[r^2=6.\]
Zatem \(r=\sqrt6\) oraz
\[h=\frac{6\sqrt3}{\sqrt6}=3\sqrt2.\]
Objętość walca wynosi
\[V=\pi r^2h=\pi\cdot6\cdot3\sqrt2=18\pi\sqrt2.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(18\pi\sqrt2\)
**2 pkt** – obliczenie promienia i wysokości walca: \(r=\sqrt6\) oraz \(h=3\sqrt2\)
**1 pkt** – zapisanie dwóch równań: \(2rh=12\sqrt3\) oraz \(2\pi r^2+2\pi rh=12\pi(\sqrt3+1)\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
X.5) Zdający oblicza objętości i pola powierzchni walca.
