Liczby rzeczywiste
Zadanie 24, próbna grudzień 2023, poziom podstawowy
Dany jest okrąg \(\mathcal O\) o środku w punkcie \(S\). Średnica \(AB\) tego okręgu przecina cięciwę \(CD\) w punkcie \(P\) (zobacz rysunek). Ponadto
\[|PB|=4,\qquad |PC|=8,\qquad |PD|=5.\]
**Oblicz promień okręgu \(\mathcal O\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\(r=7\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z twierdzenia o siecznych przecinających się wewnątrz okręgu mamy
\[|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|.\]
Podstawiamy dane:
\[|PA|\cdot4=8\cdot5,\]
stąd \(|PA|=10\). Średnica ma długość
\[|AB|=|AP|+|PB|=10+4=14,\]
więc promień wynosi
\[r=\frac{|AB|}{2}=7.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(r=7\)
**1 pkt** – wykazanie odpowiedniego podobieństwa trójkątów albo zapisanie zależności \(|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|\) prowadzącej do obliczenia \(|PA|\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja; tworzenie strategii rozwiązania.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.1 i VIII.8 wyznaczanie promieni, średnic i długości cięciw okręgu oraz korzystanie z cech podobieństwa trójkątów.
