Liczby rzeczywiste
Zadanie 23, próbna grudzień 2023, poziom podstawowy
W rombie \(ABCD\) dłuższa przekątna \(AC\) ma długość \(12\) i tworzy z bokiem \(AB\) kąt o mierze \(30^\circ\) (zobacz rysunek).
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Pole rombu \(ABCD\) jest równe
**A.** \(24\)
**B.** \(36\)
**C.** \(24\sqrt3\)
**D.** \(36\sqrt2\)
Odpowiedź
**C.** \(24\sqrt3\)
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(O\) będzie punktem przecięcia przekątnych rombu. Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy, zatem \(|AO|=6\). W trójkącie prostokątnym \(AOB\)
\[\tan30^\circ=\frac{|BO|}{|AO|},\]
więc \(|BO|=6\cdot\frac{\sqrt3}{3}=2\sqrt3\), a \(|BD|=4\sqrt3\). Pole rombu wynosi
\[P=\frac{|AC|\cdot|BD|}{2}=\frac{12\cdot4\sqrt3}{2}=24\sqrt3.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **C**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji przedstawionych na rysunku.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.4 i VIII.11 korzystanie z własności kątów i przekątnych rombu oraz stosowanie funkcji trygonometrycznych do wyznaczania długości i pól figur.
