Równania i nierówności
Zadanie 22, próbna grudzień 2023, poziom podstawowy
Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku \(O\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\) i tworzy z cięciwą \(AB\) kąt o mierze \(32^\circ\). Ponadto odcinek \(AC\) jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek).
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Miara kąta rozwartego \(BOC\) jest równa
**A.** \(148^\circ\)
**B.** \(116^\circ\)
**C.** \(154^\circ\)
**D.** \(122^\circ\)
Odpowiedź
**B.** \(116^\circ\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z twierdzenia o kącie między styczną i cięciwą wynika, że kąt wpisany \(ACB\), oparty na cięciwie \(AB\), ma miarę \(32^\circ\). Ponieważ \(AC\) jest średnicą, \(\angle ABC=90^\circ\). Zatem
\[\angle BAC=180^\circ-90^\circ-32^\circ=58^\circ.\]
Kąt środkowy \(BOC\), oparty na tym samym łuku \(BC\), ma miarę
\[2\cdot58^\circ=116^\circ.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **B**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja; przeprowadzanie rozumowań kilkuetapowych.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.5 i VIII.7 stosowanie własności kątów wpisanych i środkowych oraz twierdzenia o kącie między styczną i cięciwą.
