Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 4, próbna czerwiec 2004, poziom podstawowy
Na poniższym rysunku przedstawiono równoramienny trójkąt \(ABC\) o podstawie \(AC\) oraz prostokątny równoramienny trójkąt \(BDC\) o podstawie \(BC\). Uzasadnij, że
\[\cos(\angle ACD)<\frac12.\]
Odpowiedź
\(|\angle ACD|=67{,}5^\circ\), a ponieważ cosinus maleje w przedziale \((0^\circ,90^\circ)\) i \(\cos60^\circ=\frac12\), to \(\cos(\angle ACD)<\frac12\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że punkty \(A\), \(B\), \(D\) leżą kolejno na jednej prostej, a odcinek \(CD\) jest do niej prostopadły.
Trójkąt \(BDC\) jest prostokątny i równoramienny o podstawie \(BC\), więc kąt prosty leży przy wierzchołku \(D\), a kąty przy podstawie są równe:
\[|\angle DBC|=|\angle DCB|=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ.\]
Kąty \(ABC\) i \(DBC\) są przyległe, bo punkty \(A\), \(B\), \(D\) są współliniowe. Stąd
\[|\angle ABC|=180^\circ-45^\circ=135^\circ.\]
Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny o podstawie \(AC\), więc kąty przy tej podstawie są równe:
\[|\angle BCA|=|\angle BAC|=\frac{180^\circ-135^\circ}{2}=22{,}5^\circ.\]
Półprosta \(CB\) leży wewnątrz kąta \(ACD\), zatem
\[|\angle ACD|=|\angle ACB|+|\angle BCD|=22{,}5^\circ+45^\circ=67{,}5^\circ.\]
Funkcja cosinus jest malejąca w przedziale \((0^\circ,90^\circ)\), a \(60^\circ<67{,}5^\circ<90^\circ\), więc
\[\cos(\angle ACD)=\cos67{,}5^\circ<\cos60^\circ=\frac12,\]
co należało uzasadnić.
**Odpowiedź.** \(|\angle ACD|=67{,}5^\circ\), a stąd \(\cos(\angle ACD)<\frac12\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**(1 pkt)** – obliczenie miary kąta \(DBC\): \(\lvert\angle DBC\rvert=45^\circ\).
**(1 pkt)** – obliczenie miary kąta \(ABC\): \(\lvert\angle ABC\rvert=135^\circ\).
**(1 pkt)** – obliczenie miary kąta \(BCA\): \(\lvert\angle BCA\rvert=22{,}5^\circ\).
**(1 pkt)** – obliczenie miary kąta \(ACD\): \(\lvert\angle ACD\rvert=67{,}5^\circ\).
**(1 pkt)** – uzasadnienie, że \(\cos(\angle ACD)<\frac{1}{2}\), np. przez monotoniczność funkcji cosinus: \(\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\), więc \(\cos 67{,}5^\circ<\frac{1}{2}\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
