Liczby rzeczywiste
Zadanie 20, maj 2025, poziom podstawowy
W trójkącie równoramiennym \(ABC\) dane są \(|AC|=|BC|=4\) oraz \(|AB|=3\). Na boku \(BC\) wybrano punkt \(D\) tak, że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Odcinek \(BD\) ma długość
**A.** \(2\)
**B.** \(2{,}25\)
**C.** \(2{,}5\)
**D.** \(3\)
Odpowiedź
**B.** Z podobieństwa trójkątów \(ABC\) i \(BDA\) wynika proporcja \(\frac{BD}{BA}=\frac{BA}{BC}\). Zatem \(BD=\frac{BA^{2}}{BC}=\frac{3^{2}}{4}=\frac94=2{,}25\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy dwa trójkąty podobne, przy czym mniejszy \(BDA\) leży wewnątrz większego \(ABC\) i ma z nim wspólny kąt przy wierzchołku \(B\). Z podobieństwa wynika równość stosunków odpowiadających sobie boków — cała trudność polega na poprawnym dopasowaniu wierzchołków.
**Krok \(2\).** Dopasowanie odczytujemy z kolejności liter w zapisie „trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne”:
\[A\leftrightarrow B,\qquad B\leftrightarrow D,\qquad C\leftrightarrow A.\]
Sprawdza się to z rysunkiem: kąt \(DBA\) to ten sam kąt co \(CBA\), a trójkąt \(ABC\) jest równoramienny, więc kąty przy \(A\) i przy \(B\) są równe.
**Krok \(3\).** Odpowiadające sobie boki to pary złożone z odpowiadających sobie wierzchołków:
\[AB\leftrightarrow BD,\qquad BC\leftrightarrow DA,\qquad CA\leftrightarrow AB.\]
**Krok \(4\).** Zapisujemy równość stosunków dla pierwszej i trzeciej pary:
\[\frac{|AB|}{|BD|}=\frac{|CA|}{|AB|}.\]
**Krok \(5\).** Podstawiamy dane \(|AB|=3\) oraz \(|CA|=4\):
\[\frac{3}{|BD|}=\frac{4}{3}.\]
**Krok \(6\).** Mnożymy na krzyż i wyznaczamy \(|BD|\):
\[4\cdot|BD|=9,\qquad |BD|=\frac94=2{,}25.\]
**Krok \(7\).** Kontrola sensowności: punkt \(D\) leży na boku \(BC\) o długości \(4\), więc musi być \(|BD|\lt4\). Rzeczywiście \(2{,}25\lt4\).
**Uwaga.** Kolejność liter w zapisie podobieństwa jest tu wszystkim. Gdyby przez nieuwagę przyrównać \(|BD|\) do \(|CA|\) zamiast do \(|AB|\), wyszłaby liczba \(\frac{16}{3}\), większa od całego boku \(BC\) — co od razu widać jako bezsens. Warto zapamiętać skrót: w tej konfiguracji \(|BA|^2=|BD|\cdot|BC|\), czyli \(|BD|=\frac{|BA|^2}{|BC|}=\frac{9}{4}\).
**Odpowiedź.** B: \(|BD|=2{,}25\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.8) Zdający korzysta z cech podobieństwa trójkątów.
