Potęgi i pierwiastki
Zadanie 6, maj 2024, poziom rozszerzony
Wykaż, że jeżeli
\[\log_5 4=a\qquad\text{oraz}\qquad\log_4 3=b,\]
to
\[\log_{12}80=\frac{2a+1}{a(1+b)}.\]
Odpowiedź
\[\log_{12}80=\frac{2a+1}{a(1+b)}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu:
\[\log_{12}80=\frac{\log_4 80}{\log_4 12}=\frac{\log_4(16\cdot5)}{\log_4(4\cdot3)}=\frac{2+\log_4 5}{1+\log_4 3}.\]
Z założenia \(\log_5 4=a\) i ponownej zmiany podstawy mamy
\[\log_4 5=\frac1{\log_5 4}=\frac1a,\qquad \log_4 3=b.\]
Zatem
\[\log_{12}80=\frac{2+\frac1a}{1+b}=\frac{2a+1}{a(1+b)}.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania
**2 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(\frac{2\log_5 4+\log_4 3}{\log_5 4(1+\log_4 3)}\), \(\log_{12}80\) lub równoważnej, w której pozostaje jednokrotne zastosowanie odpowiedniego wzoru; albo zapisanie jednego poprawnego równania wykładniczego z niewiadomą
**1 pkt** – zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu lub na logarytm iloczynu, zapisanie dwóch spośród liczb \(3,4,5\) jako potęg trzeciej albo równoważny istotny krok
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
1.2 R) Zdający stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
