Okręgi i koła
Zadanie 3, maj 2023, poziom rozszerzony
Punkty \(A, B, C, D, E\) leżą na okręgu o środku \(S\). Miara kąta \(BCD\) jest równa \(110^\circ\), a miara kąta \(BDA\) jest równa \(35^\circ\) (zobacz rysunek). Wtedy kąt \(DEA\) ma miarę równą
**A.** \(100^\circ\) **B.** \(105^\circ\) **C.** \(110^\circ\) **D.** \(115^\circ\)
Odpowiedź
**B.** \(105^\circ\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy kolejność punktów na okręgu: \(D\), \(C\), \(B\), \(A\), \(E\) (zgodnie z ruchem wskazówek zegara), przy czym \(E\) leży na łuku \(AD\) niezawierającym \(B\) i \(C\).
Kąt wpisany \(BCD\) jest oparty na łuku \(BD\) niezawierającym punktu \(C\) (czyli przechodzącym przez \(A\) i \(E\)), więc łuk ten ma miarę
\[2\cdot110^\circ=220^\circ.\]
Kąt wpisany \(BDA\) jest oparty na łuku \(AB\), więc
\[\overset{\frown}{AB}=2\cdot35^\circ=70^\circ.\]
Łuk \(BD\) przechodzący przez \(A\) i \(E\) składa się z łuku \(BA\) oraz łuku \(AD\) zawierającego \(E\), zatem
\[\overset{\frown}{AED}=220^\circ-70^\circ=150^\circ.\]
Kąt \(DEA\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \(AD\) niezawierającym punktu \(E\), a ten ma miarę \(360^\circ-150^\circ=210^\circ\). Stąd
\[\lvert\angle DEA\rvert=\tfrac12\cdot210^\circ=105^\circ.\]
**Odpowiedź.** B. \(105^\circ\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024**
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R7.1) Zdający stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu.
