Trójkąty
Zadanie 14, maj 2023, poziom rozszerzony
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(6\). Punkt \(S\) jest punktem przecięcia przekątnych \(AH\) i \(DE\) ściany bocznej \(ADHE\) (zobacz rysunek).
Oblicz wysokość trójkąta \(SBH\) poprowadzoną z punktu \(S\) na bok \(BH\) tego trójkąta.
Odpowiedź
Wysokość ma długość \(\sqrt6\). Mamy \(\lvert AH\rvert=6\sqrt2\), \(\lvert BH\rvert=6\sqrt3\) oraz \(\lvert SH\rvert=3\sqrt2\).
Rozwiązanie krok po kroku
Umieśćmy sześcian w układzie współrzędnych: \(A=(0,0,0)\), \(B=(6,0,0)\), \(C=(6,6,0)\), \(D=(0,6,0)\), \(E=(0,0,6)\), \(F=(6,0,6)\), \(G=(6,6,6)\), \(H=(0,6,6)\).
Punkt \(S\) jest przecięciem przekątnych ściany \(ADHE\), czyli jej środkiem:
\[S=(0,3,3).\]
Długości boków trójkąta \(SBH\):
\[\lvert BH\rvert=\sqrt{6^2+6^2+6^2}=6\sqrt3,\qquad \lvert SH\rvert=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2,\qquad \lvert SB\rvert=\sqrt{6^2+3^2+3^2}=3\sqrt6.\]
Pole trójkąta obliczamy z iloczynu wektorowego wektorów \(\vec{HB}=[6,-6,-6]\) i \(\vec{HS}=[0,-3,-3]\):
\[\vec{HB}\times\vec{HS}=[0,18,-18],\qquad \left\lvert\vec{HB}\times\vec{HS}\right\rvert=18\sqrt2,\qquad P_{SBH}=\tfrac12\cdot18\sqrt2=9\sqrt2.\]
Wysokość opuszczona z \(S\) na bok \(BH\):
\[h=\frac{2P_{SBH}}{\lvert BH\rvert}=\frac{18\sqrt2}{6\sqrt3}=\frac{3\sqrt2}{\sqrt3}=\sqrt6.\]
**Odpowiedź.** Wysokość ma długość \(\sqrt6\).
Klucz i zasady oceniania
**1–2 pkt** – wyznaczenie \(\lvert BH\rvert=6\sqrt3\) i \(\lvert SH\rvert=3\sqrt2\).
**3 pkt** – wyznaczenie \(\lvert SB\rvert=3\sqrt6\) albo pola trójkąta \(SBH\).
**4 pkt** – obliczenie wysokości równej \(\sqrt6\).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024**
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
P9.1) Zdający rozpoznaje w graniastosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi, itp.), oblicza miary tych kątów;
P9.3) Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości graniastosłupów.
