Okręgi i koła
Zadanie 17, maj 2022, poziom podstawowy
Punkty \(A\), \(B\), \(C\) leżą na okręgu o środku \(S\). Punkt \(D\) jest punktem przecięcia cięciwy \(AC\) i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu \(B\). Miara kąta \(BSC\) jest równa \(\alpha\), a miara kąta \(ADB\) jest równa \(\gamma\) (zobacz rysunek).
Wtedy kąt \(ABD\) ma miarę
**A.** \(\frac{\alpha}{2}+\gamma-180^\circ\)
**B.** \(180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\gamma\)
**C.** \(180^\circ-\alpha-\gamma\)
**D.** \(\alpha+\gamma-180^\circ\)
Odpowiedź
**B.** \(180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\gamma\)
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(E\) będzie drugim końcem średnicy wychodzącej z punktu \(B\). Kąt środkowy \(BSC\) wyznacza łuk \(BC\) o mierze \(\alpha\), więc łuk \(CE\) ma miarę \(180^\circ-\alpha\). Z twierdzenia o kącie utworzonym przez przecinające się cięciwy
\[\gamma=\frac12\bigl(\widehat{AB}+\widehat{CE}\bigr),\]
stąd \(\widehat{AB}=2\gamma-180^\circ+\alpha\). Na półokręgu \(BAE\) mamy zatem
\[\widehat{AE}=180^\circ-\widehat{AB}=360^\circ-\alpha-2\gamma.\]
Kąt \(ABD\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \(AE\), więc
\[\angle ABD=\frac12\widehat{AE}=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\gamma.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
7.1 stosowanie zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym.
