Trójkąty
Zadanie 7, maj 2018, poziom rozszerzony
Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz \(AC>BC\). Dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie K. Punkt L jest obrazem K w symetrii względem dwusiecznej kąta BAC, punkt M jest obrazem L w symetrii względem dwusiecznej kąta ACB, a punkt N jest obrazem M w symetrii względem dwusiecznej kąta ABC. Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.
Odpowiedź
Niech O będzie punktem przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta ABC. Z definicji symetrii osiowej dwusieczne są kolejno symetralnymi odcinków KL, LM i MN. Stąd OK=OL, OL=OM oraz OM=ON. Wszystkie wierzchołki K, N, M, L leżą więc na okręgu o środku O.
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(O\) będzie punktem przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta \(ABC\) (środkiem okręgu wpisanego).
Symetria osiowa względem prostej zachowuje odległości, a osią symetrii odcinka łączącego punkt z jego obrazem jest oś tej symetrii. Zatem:
- dwusieczna kąta \(BAC\) jest symetralną odcinka \(KL\), więc \(\lvert OK\rvert=\lvert OL\rvert\), bo \(O\) leży na tej dwusiecznej;
- dwusieczna kąta \(ACB\) jest symetralną odcinka \(LM\), więc \(\lvert OL\rvert=\lvert OM\rvert\);
- dwusieczna kąta \(ABC\) jest symetralną odcinka \(MN\), więc \(\lvert OM\rvert=\lvert ON\rvert\).
Stąd
\[\lvert OK\rvert=\lvert OL\rvert=\lvert OM\rvert=\lvert ON\rvert,\]
czyli wszystkie cztery punkty \(K\), \(N\), \(M\), \(L\) leżą na jednym okręgu o środku \(O\). Na czworokącie \(KNML\) można zatem opisać okrąg, co należało udowodnić.
(Rachunek kątowy prowadzi do tego samego wniosku: oznaczając miary kątów trójkąta przez \(2\alpha\), \(2\beta\), \(2\gamma\), otrzymujemy \(\alpha+\beta+\gamma=90^\circ\), a następnie \(\lvert\angle LKN\rvert+\lvert\angle LMN\rvert=\left(90^\circ+\alpha\right)+\left(90^\circ-\alpha\right)=180^\circ\).)
**Odpowiedź.** Na czworokącie \(KNML\) można opisać okrąg o środku w punkcie przecięcia dwusiecznych trójkąta \(ABC\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zauważenie, że dwusieczna kąta trójkąta jest symetralną odpowiedniego odcinka \(KL\), \(LM\) albo \(MN\).
**2 pkt** – zapisanie i uzasadnienie co najmniej dwóch równości spośród \(\lvert OK\rvert=\lvert OL\rvert\), \(\lvert OL\rvert=\lvert OM\rvert\), \(\lvert OM\rvert=\lvert ON\rvert\).
**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania.
Wymagania podstawy programowej
V. Rozumowanie i argumentacja. 7. Planimetria. Zdający stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu (R7.1).
