Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 9, maj 2018, poziom rozszerzony
Z liczb ośmioelementowego zbioru \(Z=\{1,2,3,4,5,6,7,9\}\) tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Odpowiedź
\[P(A)=\frac5{14}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wszystkich ośmiowyrazowych ciągów bez powtórzeń jest
\[|\Omega|=8!.\]
Najpierw ustawiamy pięć liczb nieparzystych na \(5!\) sposobów. Wyznaczają one sześć luk, w których można umieścić liczby parzyste tak, aby żadne dwie nie sąsiadowały. Wybieramy trzy luki i ustawiamy w nich liczby \(2,4,6\):
\[|A|=5!\binom63 3!.\]
Zatem
\[P(A)=\frac{5!\binom63 3!}{8!}=\frac5{14}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – obliczenie \(P(A)=\frac5{14}\)
**3 pkt** – zapisanie \(|\Omega|=8!\) oraz \(|A|=5!\binom63 3!\) lub równoważnego poprawnego zliczenia
**2 pkt** – poprawne zapisanie liczby zdarzeń sprzyjających albo połączenie \(|\Omega|=8!\) z istotnym, lecz niepełnym zliczeniem przypadków
**1 pkt** – zapisanie \(|\Omega|=8!\), wskazanie \(\binom63\) możliwych pozycji albo uwzględnienie czynnika \(3!5!\)
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
R10.1 zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.
10.3 zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa.
