Trójkąty
Zadanie 3, maj 2017, poziom rozszerzony
Odcinek \(CD\) jest wysokością trójkąta \(ABC\), w którym
\[|AD|=|CD|=\frac12|BC|\]
(zobacz rysunek). Okrąg o środku \(C\) i promieniu \(CD\) jest styczny do prostej \(AB\). Okrąg ten przecina boki \(AC\) i \(BC\) trójkąta odpowiednio w punktach \(K\) i \(L\). Zaznaczony na rysunku kąt \(\alpha\) wpisany w okrąg jest równy
**A.** \(37{,}5^\circ\)
**B.** \(45^\circ\)
**C.** \(52{,}5^\circ\)
**D.** \(60^\circ\)
Odpowiedź
**C.** \(\alpha=52{,}5^\circ\)
Rozwiązanie krok po kroku
Przyjmijmy \(|CD|=|AD|=r\), wtedy \(|BC|=2r\). W trójkącie prostokątnym \(CDB\) mamy \(|DB|=r\sqrt3\), więc \(|\angle DCB|=60^\circ\). Trójkąt \(ACD\) jest równoramienny prostokątny, zatem \(|\angle ACD|=45^\circ\). Stąd kąt środkowy \(|\angle KCL|=105^\circ\), a oparty na tym samym łuku kąt wpisany ma miarę \(\alpha=52{,}5^\circ\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź C
**0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** planimetria - twierdzenie Pitagorasa, kąty w trójkącie i zależność kąta wpisanego od środkowego.
