Trójkąty
Zadanie 19, maj 2016, poziom podstawowy
Dwa okręgi o promieniach \(3\) i \(4\) są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu \(4\) w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu \(3\). Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe
A. \(14\)
B. \(2\sqrt{33}\)
C. \(4\sqrt{33}\)
D. \(12\)
Odpowiedź
B. \(2\sqrt{33}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(O_1\) środek okręgu o promieniu \(4\), a przez \(O_2\) środek okręgu o promieniu \(3\). Okręgi są styczne zewnętrznie, więc
\[\lvert O_1O_2\rvert=4+3=7.\]
Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc \(O_1P\perp PO_2\) i trójkąt \(O_1PO_2\) jest prostokątny o przyprostokątnej \(\lvert O_1P\rvert=4\) i przeciwprostokątnej \(7\). Z twierdzenia Pitagorasa
\[\lvert PO_2\rvert=\sqrt{7^2-4^2}=\sqrt{33}.\]
Pole trójkąta prostokątnego jest połową iloczynu przyprostokątnych:
\[P=\tfrac12\cdot4\cdot\sqrt{33}=2\sqrt{33}.\]
**Odpowiedź.** B. \(2\sqrt{33}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 19. (0−1)
Wersja Wersja
7. Planimetria. Zdający korzysta z własności
IV. Użycie i tworzenie I II
stycznej do okręgu i własności okręgów
strategii.
stycznych (7.2).
B C
