Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 10, maj 2015, poziom rozszerzony
Długości boków czworokąta \(ABCD\) są równe:
\[|AB|=2,\qquad |BC|=3,\qquad |CD|=4,\qquad |DA|=5.\]
Na czworokącie \(ABCD\) opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej \(AC\) tego czworokąta.
Odpowiedź
\[|AC|=\sqrt{\frac{253}{13}}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(x=|AC|\) oraz \(\alpha=\angle ABC\). Ponieważ czworokąt jest wpisany w okrąg, \(\angle CDA=180^\circ-\alpha\). Z twierdzenia cosinusów w trójkątach \(ABC\) i \(ACD\):
\[x^2=2^2+3^2-2\cdot2\cdot3\cos\alpha=13-12\cos\alpha,\]
\[x^2=4^2+5^2-2\cdot4\cdot5\cos(180^\circ-\alpha)=41+40\cos\alpha.\]
Porównanie równań daje
\[13-12\cos\alpha=41+40\cos\alpha,\qquad \cos\alpha=-\frac7{13}.\]
Wobec tego
\[x^2=13-12\left(-\frac7{13}\right)=\frac{253}{13},\]
czyli \(x=\sqrt{\frac{253}{13}}\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna długość \(\sqrt{\frac{253}{13}}\)
**3 pkt** – otrzymanie \(AC^2=\frac{253}{13}\)
**2 pkt** – poprawne ułożenie i porównanie obu równań z twierdzenia cosinusów
**1 pkt** – zapisanie jednego poprawnego równania z twierdzenia cosinusów i wykorzystanie dopełniania się kątów przeciwległych
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
7. Planimetria - czworokąt wpisany w okrąg oraz związki miarowe z użyciem twierdzenia cosinusów (R7.1,
R7.5) .
