Trójkąty
Zadanie 31, maj 2014, poziom podstawowy
Środek \(S\) okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym \(ABC\), o ramionach \(AC\) i \(BC\), leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że miara kąta wypukłego \(ASB\) jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego \(SBC\).
Odpowiedź
Wykazano, że
\[m(\angle ASB)=4\,m(\angle SBC).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(m(\angle ASB)=\alpha\). Kąt wpisany \(ACB\) i kąt środkowy \(ASB\) są oparte na tym samym łuku \(AB\), więc
\[m(\angle ACB)=\frac\alpha2.\]
Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny, a prosta \(CS\) jest jego osią symetrii i zawiera dwusieczną kąta \(ACB\). Zatem
\[m(\angle SCB)=\frac12m(\angle ACB)=\frac\alpha4.\]
Ponieważ \(SB=SC\) są promieniami okręgu, trójkąt \(SBC\) jest równoramienny, więc
\[m(\angle SBC)=m(\angle SCB)=\frac\alpha4.\]
Stąd \(m(\angle ASB)=4\,m(\angle SBC)\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – pełne uzasadnienie, że kąt \(ASB\) jest cztery razy większy od kąta \(SBC\)
**1 pkt** – wykorzystanie twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym oraz równości kątów w odpowiednim trójkącie równoramiennym, lecz bez domknięcia dowodu
**0 pkt** – rozumowanie błędne, ograniczone wyłącznie do szczególnego przypadku albo brak dowodu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
Przeprowadzenie dowodu geometrycznego z wykorzystaniem związków miarowych w figurach płaskich (V.7.c).
