Geometria płaska
Zadanie 16, maj 2011, poziom podstawowy
Punkt \(O\) jest środkiem okręgu. Kąt wpisany \(\alpha\) ma miarę
**A.** \(80^\circ\)
**B.** \(100^\circ\)
**C.** \(110^\circ\)
**D.** \(120^\circ\)
Odpowiedź
**B.** \(100^\circ\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W zadaniu występują dwa kąty oparte na tym samym łuku: zaznaczony na rysunku kąt środkowy o wierzchołku w \(O\) oraz kąt wpisany \(\alpha\), którego wierzchołek leży na okręgu. Wiąże je twierdzenie: kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.
**Krok \(2\).** Z rysunku odczytujemy miarę zaznaczonego kąta środkowego — jest on równy \(160^\circ\). Wierzchołek kąta \(\alpha\) leży po przeciwnej stronie okręgu niż ten kąt.
**Krok \(3\).** Kluczowe pytanie brzmi: na którym z dwóch łuków oparty jest kąt \(\alpha\)? Dwa punkty dzielą okrąg na dwa łuki. Kąt \(160^\circ\) obejmuje ten łuk, po którego przeciwnej stronie leży wierzchołek kąta \(\alpha\), więc \(\alpha\) opiera się na tym drugim, większym łuku.
**Krok \(4\).** Kąty środkowe pełnego okręgu sumują się do \(360^\circ\), więc kąt środkowy odpowiadający temu większemu łukowi ma miarę
\[360^\circ-160^\circ=200^\circ.\]
**Krok \(5\).** Teraz stosujemy twierdzenie o kącie wpisanym: kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku, zatem
\[\alpha=\tfrac12\cdot200^\circ=100^\circ.\]
**Uwaga.** Najczęstszy błąd to odruchowe podzielenie przez dwa liczby widocznej na rysunku: \(160^\circ:2=80^\circ\), czyli odpowiedź A. Zanim się dzieli, trzeba ustalić, na którym łuku opiera się kąt wpisany. Pomocna jest prosta kontrola: kąt wpisany oparty na łuku mniejszym od półokręgu jest ostry, a oparty na łuku większym — rozwarty.
**Odpowiedź.** B: \(100^\circ\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Skorzystanie ze związków między kątem środkowym i kątem wpisanym.
