Graniastosłupy
Zadanie 15, maj 2011, poziom podstawowy
W prostopadłościanie \(ABCDEFGH\) mamy \(|AB|=5\), \(|AD|=4\), \(|AE|=3\) (zobacz rysunek). Który z odcinków jest najdłuższy?
**A.** \(AB\)
**B.** \(BG\)
**C.** \(GE\)
**D.** \(EB\)
Odpowiedź
**C.** \(GE\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wszystkie cztery odcinki są krawędzią, przekątnymi ścian lub przekątną bryły; liczymy ich długości z twierdzenia Pitagorasa dla \(|AB|=5\), \(|AD|=4\), \(|AE|=3\).
\[|AB|=5,\]\[|BG|=\sqrt{|BC|^{2}+|CG|^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5,\]\[|EB|=\sqrt{|AB|^{2}+|AE|^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34},\]\[|GE|=\sqrt{|AB|^{2}+|AD|^{2}}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}.\]
Odcinki \(BG\) i \(EB\) są przekątnymi ścian bocznych, a \(GE\) — przekątną górnej ściany \(EFGH\), przystającej do podstawy. Ponieważ \(\sqrt{41}>\sqrt{34}>5\), najdłuższy jest \(GE\).
**Odpowiedź.** Najdłuższy jest odcinek \(GE\), czyli wariant **C**
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Użycie i tworzenie strategii. Znalezienie związków miarowych w przestrzeni.
