Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 12, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
**Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie**
\[mx^2-(m+1)x-2m+3=0\]
ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki:
\[x_1\neq 0,\qquad x_2\neq 0\qquad\text{oraz}\qquad \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}<1.\]
Odpowiedź
\[m\in(-4-2\sqrt6,0)\cup\left(0,\frac19\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Równanie jest kwadratowe i ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy \(m\neq0\) oraz \(\Delta>0\). Liczymy
\[\Delta=(m+1)^2-4m(-2m+3)=9m^2-10m+1.\]
Stąd
\[(m-1)(9m-1)>0,\]
\[m\in\left(-\infty,\frac19\right)\cup(1,+\infty).\]
Ponadto pierwiastki mają być niezerowe, więc z iloczynu Viète'a wynika \(m\neq\frac32\).
Przekształcamy warunek dotyczący odwrotności pierwiastków:
\[\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}<1.\]
Ze wzorów Viète'a
\[x_1+x_2=\frac{m+1}{m},\qquad x_1x_2=\frac{-2m+3}{m}.\]
Po podstawieniu i przekształceniu otrzymujemy
\[m^2+8m-8<0,\]
czyli
\[m\in(-4-2\sqrt6,-4+2\sqrt6),\qquad m\neq0,\quad m\neq\frac32.\]
Część wspólna wszystkich warunków jest równa
\[m\in(-4-2\sqrt6,0)\cup\left(0,\frac19\right).\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawne rozwiązanie wszystkich trzech etapów i wynik \(m\in(-4-2\sqrt6,0)\cup(0,\frac19)\)
**I etap: 1 pkt** – poprawne rozwiązanie \(\Delta>0\): \(m\in(-\infty,\frac19)\cup(1,+\infty)\)
**II etap: 3 pkt** – wyznaczenie wszystkich \(m\), dla których \(\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2}<1\): \(m\in(-4-2\sqrt6,0)\cup(0,-4+2\sqrt6)\)
**2 pkt** – zapisanie odpowiadającej temu warunkowi nierówności z jedną niewiadomą \(m\)
**1 pkt** – przekształcenie warunku do postaci zawierającej wyłącznie \(x_1+x_2\) i \(x_1x_2\)
**III etap: 1 pkt** – poprawne wyznaczenie części wspólnej warunków
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Brak warunków \(m\neq0\) lub \(m\neq\frac32\) ogranicza maksymalną ocenę do \(4\) punktów
Wymagania podstawy programowej
**Element podstawy programowej:** badanie liczby pierwiastków równania kwadratowego z parametrem, stosowanie wzorów Viète'a i rozwiązywanie nierówności kwadratowych. Klucz CKE dla tego arkusza w formule 2015 nie podaje osobnego kodu wymagania.
